Formes quadratiques

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Théorème

Soit

q : E \to ℝ

une forme quadratique. Il existe

(v_{1}, \dots, v_{n})

une base de

E

orthogonale par rapport à

q

et des entiers

r

et

s

vérifiant

0 \leq r \leq r + s \leq n

tels que

q (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} v_{i}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{r}^{2} - x_{r + 1}^{2} \dots - x_{r + s}^{2}

Les entiers

r

et

s

ne dépendent que de

q

.
Le couple

(r, s)

s'appelle signature de

q

et le rang de

q

vaut

r + s

.

Démonstration

On va montrer l'existence et l'unicité de

r

et

s

.

Existence:
Il existe $(u_{1}, \dots, u_{n})$ une base de $E$ orthogonale par rapport à $q$ . Quitte à réordonner ces vecteurs, on peut supposer qu'il existe $r, s \in ℕ$ tels que $0 \leq r \leq n$ , $0 \leq s \leq n$ et $r + s \leq n$ vérifiant
$\begin{matrix} q (u_{i}) > 0 & pour 1 \leq i \leq r & (r peut être nul) \\ q (u_{i}) < 0 & pour r + 1 \leq i \leq r + s & (s peut être nul) \\ q (u_{i}) = 0 & pour i > r + s & (r + s peut être égal à n) \end{matrix}$

Posons
$\begin{matrix} v_{i} = \frac{u_{i}}{\sqrt{q (u_{i})}} & pour 1 \leq i \leq r, \\ v_{i} = \frac{u_{i}}{\sqrt{- q (u_{i})}} & pour r + 1 \leq i \leq r + s \\ v_{i} = u_{i} & pour i > r + s . \end{matrix}$

$B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base de $E$ orthogonale par rapport à $q$ et on a
$M = Mat (q, ℬ) = (\begin{matrix} I_{r} & 0 & 0 \\ 0 & - I_{s} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Comme $rg q = rg M$ alors $rg q = r + s$ .
Unicité:
Supposons qu'il existe $r'$ et $s'$ dans $ℕ$ et $(v'_{1}, \dots, v'_{n})$ une base de $E$ orthogonale par rapport à $q$ telle que
$q (\sum_{i = 1}^{n} x'_{i} v'_{i}) = x'_{1}^{2} + \dots + x'_{r'}^{2} - x'_{r' + 1}^{2} \dots - x'_{r' + s'}^{2}$
on a $r' + s' = rg M = r + s$ .
Vérifions que ${v_{1}, \dots v_{r}, v'_{r' + 1}, \dots v'_{n}}$ est un famille libre de $E$ .
Supposons que $α_{1} v_{1} + \dots + α_{r} v_{r} + β_{1} v'_{r' + 1} + \dots + β_{n - r'} v'_{n} = 0$
On aura alors $q (\sum_{i = 1}^{k} α_{i} v_{i}) = q (- \sum_{i = 1}^{n - r'} β_{i} v'_{r' + i})$ . On en déduit,
$α_{1}^{2} + \dots + α_{r}^{2} = - β_{1}^{2} \dots - β_{s'}^{2} .$

et par suite $α_{1} = \dots = α_{r} = β_{1} = \dots β_{s'} = 0$ . Comme ${v'_{r' + s' + 1}, \dots v'_{n}}$ est une sous-famille d'une famille libre alors $β_{s' + 1} = \dots β_{n - r'} = 0$ .
La famille ${v_{1}, \dots v_{r}, v'_{r' + 1}, \dots v'_{n}}$ est donc libre. Par suite, son cardinal $r + n - r'$ est majoré par la dimension de $E$ alors on a $r \leq r'$ .
On montre de la même façon que $r' \leq r$ on en déduit $r = r'$ puis $s = s'$

Fin de la démonstration

Exemple

Soit

Q : ℝ^{3} \to ℝ

, la forme quadratique définie pour

v = (x, y, z)

par

Q (v) =

Sa matrice dans la base canonique est

$A = []$ .

Sa signature est ().

Exercice

Signature et rang

La proposition suivante donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme quadratique soit non dégénérée.

Proposition

Soit

q

une forme quadratique de

E

de signature

(r, s)

. Considérons une base

ℬ

de

E

. Alors,

q

est non dégénérée si et seulement si

r + s = n

Démonstration

Par définition,

q

est non dégénérée si et seulement si son noyau est nul, on déduit d'après le théorème du rang que le rang de

q

est égal à la dimension de

E

ce qui est équivalent à

r + s = n

.

Fin de la démonstration

Proposition

Soient

q : E \to ℝ

une forme quadratique de signature

(r, s)

.

$q$ est positive $⟺ s = 0$
$q$ est définie positive $⟺ r = n$

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- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
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- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
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III-1 Méthode de Gauss

III-2 Exemples

III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

III-4 Formes quadratiques équivalentes

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
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Le but de cette méthode est d'écrire une forme quadratique comme une somme de carrés.

Théorème

Soit

q

une forme quadratique non nulle de

E

alors il existe

ℓ_{1}, \dots, ℓ_{p}

des formes linéaires indépendants de

E

et

α_{1}, \dots, α_{p}

des réels non nuls tels que

q = \sum_{i = 1}^{p} α_{i} ℓ_{i}^{2}

en outre, on a

rg q = p

et

ker q = {x \in ℝ^{n} / ℓ_{1} (x) = ℓ_{2} (x) = \dots = ℓ_{p} (x) = 0}

Démonstration

On raisonne par récurrence sur la dimension de

E

.
pour

n = 1

. Soit

(e_{1})

une base de

E

, tout vecteur

x \in E

s'écrit

x = x_{1} e_{1}

, donc

q (x) = q (e_{1}) x_{1}^{2}

et alors

q (e_{1}) = α \neq 0

car

q \neq 0

. On choisit dans ce cas

\begin{matrix} ℓ_{1} : E & \to & ℝ \\ x_{1} e_{1} & \mapsto & x_{1} \end{matrix}

Soit

n \geq 2

, supposons le résultat vrai pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension

p \leq n - 1

et soit

q

une forme quadratique de

E

.Soit

B = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})

une base de

E

, on sait que

\forall x \in E, q (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j} x_{i} x_{j}

Premier Cas :
S'il existe $i_{0}$ tel que $a_{i_{0}, i_{0}} \neq 0$ : pour fixer les idées, supposons que $a_{1, 1} \neq 0 .$
Le principe est de regrouper tous les termes contenant $x_{1}$ et faire apparaître un début de carré.
$q (x) = a_{1, 1} x_{1}^{2} + 2 \sum_{j = 2}^{n} a_{1, j} x_{1} x_{j} + \sum_{i = 2}^{n} a_{i, i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{2 \leq i < j \leq n} a_{i, j} x_{i} x_{j} .$

Notons $q_{1} (x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 2}^{n} a_{i, i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{2 \leq i < j \leq n} a_{i, j} x_{i} x_{j} .$ Remarquons que c'est une forme quadratique en $x_{2}, \dots, x_{n}$ .
On a
$\begin{matrix} q (x) & = & a_{1, 1} (x_{1}^{2} + \frac{2}{a_{1, 1}} \sum_{j = 2}^{n} a_{1, j} x_{1} x_{j}) + q_{1} (x_{2}, \dots, x_{n}) \\ = & a_{1, 1} {(x_{1} + \sum_{j = 2}^{n} \frac{a_{1, j} x_{j}}{a_{1, 1}})}^{2} \\ - \frac{1}{a_{1, 1}} {(\sum_{j = 2}^{n} a_{1, j} x_{j})}^{2} + q_{1} (x_{2}, \dots, x_{n}) . \end{matrix}$

Soit alors $a_{1} = a_{1, 1}$ et $ℓ_{1} : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto x_{1} + \sum_{j = 2}^{n} \frac{a_{1, j} x_{j}}{a_{1, 1}}$ .
$q_{2} : (x_{2}, \dots, x_{n}) \mapsto q_{1} (x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{a_{1, 1}} {(\sum_{j = 2}^{n} a_{1, j} x_{j})}^{2}$
est une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension $n - 1$ , on lui applique alors l'hypothèse de récurrence. Les formes linéaires récupérées en utilisant l'hypothèse de récurrence sont nécessairement libres avec $ℓ_{1}$ vu qu'elles n'ont pas de composantes suivant $x_{1}$ .
Deuxième Cas :
Cas où tous les $a_{i, i}$ sont nuls, la forme quadratique s'écrit alors sous la forme $q (x) = 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j} x_{i} x_{j}, \forall x \in E$ . Sans perte de généralité, supposons que $a_{1, 2} \neq 0$ .
L'idée est de regrouper tous les termes contenant $x_{1}$ et $x_{2}$ .
$q (x) = 2 a_{1, 2} x_{1} x_{2} + 2 \sum_{j = 3}^{n} a_{1, j} x_{1} x_{j}$

$+ 2 \sum_{j = 3}^{n} a_{2, j} x_{2} x_{j} + 2 \sum_{3 \leq i < j \leq n} a_{i, j} x_{i} x_{j} .$

Posons,
$\begin{matrix} φ (x) & = & \sum_{j = 3}^{n} a_{1, j} x_{j}, \\ ψ (x) & = & \sum_{j = 3}^{n} a_{2, j} x_{j} \\ θ (x) & = & 2 \sum_{3 \leq i < j \leq n} a_{i, j} x_{i} x_{j} \end{matrix}$
Remarquons que $theta$ est un polynôme homogène de degré $2$ en $x_{3}, \dots, x_{n}$ .
Une fois que c'est fait, on regroupe ces formes de la façon suivante:
$\begin{matrix} q (x) & = & 2 a_{1, 2} x_{1} x_{2} + 2 x_{1} φ (x) + 2 x_{2} ψ (x) + θ (x) \\ = & \frac{2}{a_{1, 2}} [a_{1, 2}^{2} x_{1} x_{2} + a_{1, 2} x_{1} φ (x) + a_{1, 2} x_{2} ψ (x)] + θ (x) \\ = & \frac{2}{a_{1, 2}} (a_{1, 2} x_{1} + ψ (x)) (a_{1, 2} x_{2} + φ (x)) - \frac{2}{a_{1, 2}} φ (x) ψ (x) + θ (x) \end{matrix}$
$q_{1} : (x_{3}, \dots, x_{n}) \mapsto θ (x) - \frac{2}{a_{1, 2}} φ (x) ψ (x)$ est une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension $n - 2$ . En effet, le produit de deux formes linéaires est une forme quadratique.
En utilisant la relation $ab = \frac{1}{4} [(a + b)^{2} - (a - b)^{2}]$ , on obtient

$\begin{matrix} q (x) & = & \frac{1}{2 a_{1, 2}} [(a_{1, 2} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + ψ (x) + φ (x))^{2} - (a_{1, 2} x_{1} - a_{1, 2} x_{2} + ψ (x) - φ (x))^{2}] \\ + & q_{1} (x_{3}, \dots, x_{n}) . \end{matrix}$

Posons $a_{1} = \frac{1}{2 a_{1, 2}},$ $a_{2} = \frac{1}{2 a_{1, 2}},$
$ℓ_{1} : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto a_{1, 2} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + ψ (x) + φ (x)$
et
$ℓ_{2} : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto a_{1, 2} x_{1} - a_{1, 2} x_{2} + ψ (x) - φ (x) .$

Les formes $ℓ_{1}$ et $ℓ_{2}$ sont deux formes linéaires indépendantes de $ℝ^{n}$ et $q_{1}$ est une forme quadratique à qui on applique l'hypothèse de récurrence.

Fin de la démonstration

Remarque

La démonstration du théorème précédent est la méthode pratique de réduction de Gauss.

Corollaire

Sous les hypothèses du théorème précédent, la signature de

q

est

(r, s)

où

r = Card {a_{i} > 0, i = 1, \dots, p}

et

s = Card {a_{i} < 0, i = 1, \dots, p} .

Remarque utile

La décomposition de Gauss permet aussi de déterminer une base orthogonale par rapport à la forme quadratique.

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Index

Dans cette sous section, on donne trois exemples de réduction de Gauss d'une forme quadratique. Lire la preuve du théorème précédent en regardant les exemples.

III-2-1 Exemple 1: Forme quadratique avec carrés

Exemple

Soit

E = ℝ^{3}

,

\begin{matrix} q (x, y, z) & = & 2 x^{2} - y^{2} - 4 x y - 8 y z \\ = & 2 (x^{2} - 2 x y) - y^{2} - 8 y z \\ = & 2 (x - y)^{2} - 9 y^{2} - 8 y z \\ = & 2 (x - y)^{2} - 9 (y^{2} + \frac{8}{9} y z) \\ = & 2 (x - y)^{2} - 9 {(y + \frac{4}{9} z)}^{2} + \frac{16}{9} z^{2} \end{matrix}

Posons

{\begin{matrix} ℓ_{1} (x, y, z) = x - y \\ ℓ_{2} (x, y, z) = y + \frac{4}{9} z \\ ℓ_{3} (x, y, z) = z \end{matrix} et {\begin{matrix} x' = x - y \\ y' = y + \frac{4}{9} z \\ z' = z \end{matrix}

(ℓ_{1}, ℓ_{2}, ℓ_{3})

est une base de l'espace dual

E^{*}

de

E

.
On a

q (x', y', z') = 2 x'^{2} - 9 y'^{2} + \frac{16}{9} z'^{2}

donc si

P \in M_{3} (ℝ)

tel que

(\begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix}) = P^{- 1} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

alors les vecteurs de composantes les colonnes de

P

forment une base orthogonale par rapport à

q

. Une base orthogonale par rapport à

q

est donc

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

où

v_{1} = (1, 0, 0)

,

v_{2} = (1, 1, 0)

et

v_{3} = (- \frac{4}{9}, - \frac{4}{9}, 1)

Exemple

Soit

E = ℝ^{3}

,

\begin{matrix} q (x, y, z) & = & x^{2} + x y + x z \\ = & {(x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z)}^{2} - {(\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z)}^{2} \end{matrix}

Soit

ℓ_{1} (x, y, z) = x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z

ℓ_{2} (x, y, z) = \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z

On choisit la forme linéaire

ℓ_{3}

telle que la famille

(ℓ_{1}, ℓ_{2}, ℓ_{3})

soit une base de l'espace dual

E^{*}

de

E

. Soit

ℓ_{3} (x, y, z) = z .

Posons

{\begin{matrix} x' = x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z \\ y' = \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z \\ z' = z \end{matrix}

On a

q (x', y', z') = x'^{2} - y'^{2}

donc si

P \in M_{3} (ℝ)

tel que

(\begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix}) = P^{- 1} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}),

les vecteurs de composantes les colonnes de

P

forment une base orthogonale par rapport à

q

. Une base orthogonale par rapport à

q

est donc

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

où

v_{1} = (1, 0, 0)

,

v_{2} = (- 1, 2, 0)

et

v_{3} = (0, - 1, 1)

III-2-2 Exemple 2: Forme quadratique sans carrés

Exemple

Soit

E = ℝ^{4}

,

\begin{matrix} q (x, y, z) & = & x y + x z + y z + z t \\ = & (x + z) (y + z) - z^{2} + z t \\ = & \frac{1}{4} (x + 2 z + y)^{2} - \frac{1}{4} (x - y)^{2} - {(z - \frac{1}{2} t)}^{2} + \frac{1}{4} t^{2} \end{matrix}

Soient

{\begin{matrix} ℓ_{1} (x, y, z, t) = x + 2 z + y \\ ℓ_{2} (x, y, z, t) = x - y \\ ℓ_{3} (x, y, z, t) = z - \frac{1}{2} t \\ ℓ_{4} (x, y, z, t) = t \end{matrix}

La famille

(ℓ_{1}, ℓ_{2}, ℓ_{3}, ℓ_{4})

est une base de l'espace dual

E^{*}

de

E

. Posons

{\begin{matrix} x' = x + 2 z + y \\ y' = x - y \\ z' = z - \frac{1}{2} t \\ t' = t \end{matrix}

On a

q (x', y', z') = \frac{1}{4} x'^{2} - \frac{1}{4} y'^{2} - z'^{2} + \frac{1}{4} t'^{2}

donc si

P \in M_{4} (ℝ)

tel que

(\begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ t' \end{matrix}) = P^{- 1} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t \end{matrix})

les vecteurs de composantes les colonnes

P

forment une base orthogonale par rapport à

q

. Une base orthogonale par rapport à

q

est alors

(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4})

où

v_{1} = (\frac{1}{2}, 1, 0, 0),

v_{2} = (\frac{1}{2}, - 1, 0, 0),

v_{3} = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, 0)

et

v_{4} = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, 1) .

III-2-3 Exercices

Exercice

Réduction de Gauss

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Proposition

Soient

ℬ

une base de

E

et

q

une forme quadratique sur

E

, notons

M = Mat (q, ℬ)

, alors il existe une base orthogonale par rapport à

q

formée par des vecteurs propres de

M

.

Démonstration

Soit

B = (e_{1}, \dots, e_{n})

une base de

E

. On sait que

M = Mat (q, ℬ)

est symétrique réelle, donc il existe

P \in O (n)

telle que

P^{- 1} M P =^{t} P M P

soit diagonale. Alors

({Pe}_{1}, \dots, {Pe}_{n})

est une base orthogonale par rapport à

q

.

Fin de la démonstration

Corollaire

Soit

q : E \to ℝ

une forme quadratique de signature

(r, s)

et

ℬ

une base de

E

. Si

M = Mat (q, ℬ)

, alors

r

est le nombre de valeurs propres positives de

M

et

s

est le nombre de valeurs propres négatives de

M

.

Exemple

Soit

Q : ℝ^{3} \to ℝ

, la forme quadratique définie pour

v = (x, y, z)

par

Q (v) =

Sa matrice dans la base canonique est

$A = []$ .

Sa signature est ().

Exercice

Signature d'une forme quadratique

Exercice

Rang d'une forme quadratique

Proposition

Soit

q : E \to ℝ

une forme quadratique de signature

(r, s)

.

$q$ est positive $Longleftrightarrow$ toutes les valeurs propres de $M$ sont positives.
$q$ est définie positive $Longleftrightarrow$ toutes les valeurs propres de $M$ sont strictement positives.

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
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Index

Définition

Deux formes quadratiques

q_{1}

et

q_{2}

de

E

sont dites équivalentes s'il existe un automorphisme

u : E \to E

tel que

q_{2} = q_{1} \circ u

.

Remarque

La relation binaire "équivalente" est une relation d'équivalence.

Proposition

Soient

ℬ

une base de

E

,

q_{1}

et

q_{2}

deux formes quadratiques de

E

de matrices respectives relativement à la base

ℬ

,

A_{1}

et

A_{2}

. Alors,

q_{1}

et

q_{2}

sont équivalentes si et seulement s'il existe une matrice

P

inversible telle que

A_{2} =^{t} P A_{1} P

.

Démonstration

Les formes quadratiques

q_{1}

et

q_{2}

sont équivalentes si et seulement s'il existe un automorphisme

u

de

E

tel que

q_{2} = q_{1} \circ u

. Notons

P = Mat (u, ℬ)

, soient

x \in E

et

X

la matrice des composantes de

x

dans

ℬ

. On a alors

\begin{matrix} q_{2} (x) = q_{1} (u (x)) & ⟺ & ^{t} X A_{2} X =^{t} (P X) A_{1} P X =^{t} X (^{t} P A_{1} P) X \\ ⟺ & A_{2} =^{t} P A_{1} P \end{matrix}

Fin de la démonstration

Nous admettons ce résultat qui caractérise deux formes quadratiques équivalentes.

Théorème

Deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont la même signature.

Exercice

Formes quadratiques équivalentes

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint

IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Soit

E

un espace euclidien dont le produit scalaire est noté

<, >

.

Proposition

Soit

u

un endomorphisme de

E

. Alors l'application

\begin{matrix} b : E \times E & \to & ℝ \\ (x, y) & \mapsto & < u (x), y > \end{matrix}

est une forme bilinéaire sur

E

. De plus

b

est symétrique si et seulement si

u

est autoadjoint.

Théorème

Soit

q

une forme quadratique sur

E

. Alors, il existe un unique endomorphisme autoadjoint

u

de

E

tel que

q (x) = < u (x), y >

pour tout

x \in E

et la matrice de

u

dans une base orthonormée est celle de

q

dans la même base.

Démonstration

Existence: Soit $ℬ$ une base orthonormée de $E$ , notons $M = Mat (q, ℬ)$ et $b$ la forme polaire de $q$ . Pour tous $x$ et $y$ de $E$ , si $X$ et $Y$ désignent leurs matrices des composantes respectives on a,
$b (x, y) =^{t} X M Y =^{t} (M X) Y$
car M est symétrique. l'endomorphisme $u$ de $E$ de matrice $M$ dans la base $ℬ$ , est autoadjoint En effet, sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. et on a $b (x, y) = < u (x), y >$ .
Unicité: Supposons qu'il existe deux endomorphismes autoadjoints $u$ et $u'$ vérifiant
$b (x, y) = < u (x), y > = < u' (x), y >$
$\forall (x, y) \in E \times E$ . Par conséquent,
$u (x) - u' (x) \in E^{⊥} = 0 \forall x \in E .$
D'où,
$u = u' .$

Fin de la démonstration

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Théorème

Soit

q

une forme quadratique de

E

. Il existe une base orthonormée de

E

orthogonale par rapport à

q

.

Démonstration

Soit

u

l'endomorphisme autoadjoint associé à

q

. On sait que

u

est diagonalisable et il existe une base

ℬ

orthonormée de

E

formée par des vecteurs propres de

u

. La matrice de

u

dans la base

ℬ

, qui est aussi d'après la remarque précédente la matrice de

q

dans la même base, est diagonale, d'où

ℬ

est orthogonale par rapport à

q

.

Fin de la démonstration

Remarque importante

Soient

q

une forme quadratique de

E

et

ℬ

une base orthonormée de

E

, notons

M = Mat (q, ℬ)

. Pour déterminer une base orthogonale par rapport à

q

et orthonormée par rapport au produit scalaire

<, >

, il faut absolument considérer une base orthonormée de vecteurs propres de la matrice

M

. Par contre, pour avoir juste une base orthogonale par rapport à

q

, on peut utiliser la réduction de Gauss.

Exemple

Soit

Q : ℝ^{3} \to ℝ

, la forme quadratique définie pour

v = (x, y, z)

par

Q (v) =

Sa matrice est

$A = []$ .

Une base orthogonale par rapport à Q et orthonormée par rapport au produit scalaire usuel de

ℝ^{3}

est donnée par (v1, v2, v3), où

v_{1} = ()

est un vecteur propre pour -2

v_{2} = ()

est un vecteur propre pour 1

v_{3} = ()

est un vecteur propre pour -3

Exercice

Bases orthogonales

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Dans cette partie on va donner aux coniques qui sont bien connues géométriquement, un aspect algébrique et on va les définir à partir des formes quadratiques.
Une conique est la courbe obtenue en coupant un cône par un plan.

V-1 Définitions

V-2 Forme réduite d'une équation de conique

V-3 Centre de symétrie d'une conique

V-4 Classification des coniques

V-5 Tableaux récapitulatifs

V-6 Exemples et exercices

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Soit

(ℰ, E)

un espace affine euclidien de dimension

2

muni d'un repère orthonormé

ℛ = (O, i, j)

. On note

X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

la matrice des coordonnées d'un point

M

de

ℰ

.

Définition

Une conique de

ℰ

est le sous-ensemble

𝒞

de

ℰ

défini dans

ℛ

par une équation du type

a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f = 0

où

(a, b, c) \in ℝ^{3} ∖ {(0, 0, 0)} et d, e, f \in ℝ .

On note

q

la forme quadratique sur

E

définie par

q (\vec{OM}) = q (x i + y j) = a x^{2} + b x y + c y^{2}

A

sa matrice

(\begin{matrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{matrix})

et $psi$ la forme linéaire sur

E

ψ (x i + y j) = d x + e y

de matrice

B = (d, e)

La conique admet donc pour équation

q (\vec{O M}) + ψ (\vec{O M}) + f = 0 .

L'équation de la conique s'écrit aussi

^{t} X A X + B X + f = 0 .

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Soit

u

l'endomorphisme autoadjoint de

E

tel que

\forall v \in E, ϕ (v) = < u (v), v >

Comme

u

est autoadjoint, il est diagonalisable dans une base

(v_{1}, v_{2})

orthonormée de vecteurs propres associés aux valeurs propres respectives $lambda$ et $mu$ de

u

. Dans le repère

ℛ' = (O, v_{1}, v_{2})

, on note

(x', y')

les composantes de

M

, alors il existe

β_{1}, β_{2}, f \in ℝ

tel qu'une équation de

𝒞

dans

ℛ'

soit

λ x'^{2} + μ y'^{2} - 2 β_{1} x' - 2 β_{2} y' + f = 0 .

Cette forme d'équation est appelée réduite de la conique

𝒞 .

Exemple

L'équation donnée par

= 0

est une équation réduite pour le cercle de centre (4,3) et de rayon 5.

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Définition

Soit

ω \in ℰ

et

S_{ω}

la symétrie centrale de

ℰ

de centre $omega$ , on dit que $omega$ est centre de symétrie de

𝒞

, si pour tout point

M

de

𝒞

,

M' = S_{ω} (M)

appartient à

𝒞

.

Nous allons donner maintenant une condition nécessaire et suffisante pour qu'un point du plan soit le centre de symétrie d'une conique.

Proposition

Soit $omega$ un point de coordonnées

X_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix})

dans

ℛ

. Les assertions suivantes sont équivalentes

$omega$ est centre de symétrie de $𝒞$
$A X_{0} = - \frac{^{t} B}{2}$
(S) ${\begin{matrix} 2 a x_{0} + b y_{0} + d & = & 0 \\ b x_{0} + 2 c y_{0} + e & = & 0 \end{matrix}$

Démonstration

Soit

ℛ_{0}

le repère

(ω, i, j)

, un point

M

de coordonnées

X

dans

ℛ

a pour coordonnées

Y = X - X_{0}

dans

ℛ_{0}

. On détermine une équation de

𝒞

dans

ℛ_{0}

ainsi:

\begin{matrix} M \in 𝒞 & ⟺ & ^{t} X A X + B X + f = 0 \\ ⟺ & ^{t} (X_{0} + Y) A (X_{0} + Y) + B (X_{0} + Y) + f = 0 \\ ⟺ & ^{t} Y A Y + (2_{0}^{tX} A + B) Y +^{t} X_{0} A X_{0} + B X_{0} + f = 0 \end{matrix}

Donc une équation de

𝒞

dans

ℛ_{0}

est

^{t} Y A Y + (2_{0}^{tX} A + B) Y +^{t} X_{0} A X_{0} + B X_{0} + f = 0

D'autre part,

M' = S_{ω} (M)

a pour coordonnées

Y' = - Y

dans

ℛ_{0}

. On a donc

^{t} Y' A Y' + (2^{t} X_{0} A + B) Y' +^{t} X_{0} A X_{0} + B X_{0} + f

=^{t} Y A Y - (2^{t} X_{0} A + B) Y +^{t} X_{0} A X_{0} + B X_{0} + f

Si de plus

M \in 𝒞

alors

^{t} Y' A Y' + (2^{t} X_{0} A + B) Y' +^{t} X_{0} A X_{0} + B X_{0} + f = 0

ce qui est équivalent à

(2^{t} X_{0} A + B) Y = 0

Donc, dans ce cas $omega$ est centre de symétrie de

𝒞

si et seulement si

M'

appartient à

𝒞

si et seulement si

A X_{0} = - \frac{^{tB}}{2}

, c'est-à-dire coordonnée par coordonnée

{\begin{matrix} 2 a x_{0} + b y_{0} + d & = & 0 \\ b x_{0} + 2 c y_{0} + e & = & 0 \end{matrix}

Fin de la démonstration

Remarque

Il existe un unique centre de symétrie de la conique $𝒞$ si et seulement si $A$ est de rang $2$ , c'est-à-dire si $q$ est non dégénérée.
Dans le cas où $q$ est dégénérée, le système (S) n'est pas de Cramer et la conique $𝒞$ n'a pas nécessairement un centre de symétrie.

Proposition [Equation réduite de $𝒞$ ]

Il découle immédiatement de la proposition précédente que $omega$ est centre de symétrie de $𝒞$ si et seulement si l'équation de $𝒞$ dans $ℛ_{0}$ est
$^{t} Y AY +^{t} X_{0} A X_{0} + B X_{0} + f = 0 .$
On note $(x ″, y ″)$ les composantes de $M$ dans le repère $ℛ ″ = (ω, v_{1}, v_{2})$ , alors l'équation de $𝒞$ dans $ℛ ″$ a l'une des deux formes suivantes:
$λ x ″^{2} + μ y ″^{2} + h = 0 ou λ x ″^{2} - 2 β_{2} y ″ + h = 0 .$

Sans perte de généralité, on suppose que

λ \geq 0

dans tout ce qui suit.

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Soit

𝒞

une conique d'équation Eq3 dans un repère

ℛ ″ = (ω, v_{1}, v_{2})

, $omega$ est donc le centre de symétrie de

𝒞

. On note

q

la forme quadratique

λ X^{2} + μ Y^{2}

.
Nous allons classifier les coniques suivant le rang de la forme quadratique associée ou encore suivant $lambda$ , $mu$ ,

β_{1}

et

β_{2}

.

Théorème

Si le rang de $q$ est égal à $2$ alors $𝒞$ est une ellipse ou une hyperbole ou la réunion de deux droites.
Si le rang de $q$ est égal à $1$ alors $𝒞$ est une parabole ou la réunion de deux droites ou un point.

Démonstration

Premier Cas:
Cas où la forme quadratique $q$ est non dégénérée c'est-à-dire $rg q = 2 .$
Comme $q$ est non dégénérée alors le produit des deux valeurs propres $lambda$ et $mu$ est non nul. Soit $ω (\frac{β_{1}}{λ}, \frac{β_{2}}{μ})$ , le centre de symétrie de $𝒞$ . Dans le repère $ℛ ″ = (ω, v_{1}, v_{2})$ ,l'équation de $𝒞$ est
$λ X^{2} + μ Y^{2} + h = 0 .$
D'où,
$𝒞 : \frac{X^{2}}{\frac{∣ h ∣}{λ}} + \frac{Y^{2}}{\frac{∣ h ∣}{μ}} + \frac{h}{∣ h ∣} = 0$

en posant $a^{2} = \frac{∣ h ∣}{λ}$ et $b^{2} = \frac{∣ h ∣}{∣ μ ∣}$ , on obtient l'équation équivalente
$\frac{X^{2}}{a^{2}} + ε' \frac{Y^{2}}{b^{2}} + ε = 0$
avec $ε, ε' \in {- 1, 1}$ .
Deuxième Cas:
Dans le cas où le rang de la forme quadratique $q$ est $1$ .
On a $λ μ = 0$ . Supposons $λ \neq 0$ et $μ = 0$ . L'équation de $𝒞$ dans le repère $ℛ'$ sera alors
$λ X'^{2} - 2 β_{2} Y' - 2 β_{1} X' + f = 0 .$

Dans le repère $ℛ_{0}$ l'équation de $𝒞$ sera
$λ (X'^{2} - 2 \frac{β_{1} X'}{2 λ}) - 2 β_{2} Y' + f = 0 .$

Soit $ω (\frac{β_{1}}{λ}, 0)$ ; dans le repère $ℛ ″ = (ω, v_{1}, v_{2})$ , l'équation de $𝒞$ est
$λ X^{2} - 2 β_{2} Y + h = 0$

Fin de la démonstration

Les résultats géométriques du théorème précédent sont récapitulés dans les tableaux suivants.

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Les tableaux suivant récapitulent les différentes formes réduites dégénérées et non dégénérées de la conique qui a pour équation

λ X^{2} + μ Y^{2} + h = 0 .

V-5-1 Cas d'une ellipse C'est le cas où $λ μ > 0$

$λ h > 0$	$𝒞 = \emptyset .$
$h = 0$	$𝒞 = ω$
$λ h < 0$	$𝒞$ est une ellipse d'équation $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0$ , de centre $omega$ et d'axes $(ω, \overset{⇀}{v_{1}})$ et $(ω, \overset{⇀}{v_{2}} .)$	Ellipse d'équation: $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = 1 .$

V-5-2 Cas d'une hyperbole C'est le cas où $λ μ < 0$ .

λ h > 0

𝒞

est une hyperbole d'équation

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0

, de centre $omega$ et d'axes

(ω, \overset{⇀}{v_{1}})

et

(ω, \overset{⇀}{v_{2}}) .

Hyperbole d'équation :

\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{16} = 1 .

h = 0

𝒞

est la réunion de deux droites passant par

ω

et d'équations

y = \pm \sqrt{- \frac{λ}{μ}} x .

Réunion de deux droites d'équations:

y = - 0.57142857 x et y = 0.57142857 x

λ h < 0

𝒞

est une hyperbole d'équation

\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} - 1 = 0

, de centre $omega$ et d'axes

(ω, \overset{⇀}{v_{1}})

et

(ω, \overset{⇀}{v_{2}}) .

Hyperbole d'équation :

\frac{y^{2}}{49} - \frac{x^{2}}{16} = 1 .

V-5-3 Cas d'une parabole Dans ce cas la conique a pour équation $λ X^{2} - 2 β_{2} Y + h = 0$

$β_{2} = 0$	$λ h > 0$	$𝒞 = \emptyset .$
$β_{2} = 0$	$λ h \leq 0$	$𝒞$ est la réunion de deux droites parallèles à l'axe des $y$ et d'équations $y = \pm \sqrt{\frac{- h}{λ}} .$	Droites d'équations y = -1.2247449 et y = 1.2247449
$β_{2} \neq 0$		$𝒞$ est une parabole de sommet $S (0, \frac{h}{2 β_{2}})$ , d'axe principal $(ω, \overset{⇀}{u})$ et a pour équation $x^{2} = 2 \frac{β_{2}}{λ} (y - \frac{h}{2 β_{2}})$	Parabole d'équation : $x^{2} - 6 y = 0$

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Exemple

Dans l'espace affine euclidien usuel

ℝ^{2}

, on considère la conique

𝒞

d'équation

9 x^{2} - 10 x y + 4 y^{2} = 36 .

Soit la forme quadratique

q (x, y) = 9 x^{2} - 10 x y + 4 y^{2} .

On a

q (x, y) = 9 {(x - \frac{5}{9} y)}^{2} + \frac{11}{9} y^{2}

donc la signature de

q

est

(2, 0)

et alors

𝒞

est une ellipse.
L'endomorphisme autoajoint

u

de

ℝ^{2}

tel que

q (v) = < u (v), v > \forall v \in ℝ^{2}

a pour matrice dans la base canonique

(\begin{matrix} 9 & - 5 \\ - 5 & 4 \end{matrix}) .

Les valeurs propres de $varphi$ sont

λ = \frac{13 + 5 \sqrt{5}}{2}

et

μ = \frac{13 - 5 \sqrt{5}}{2}

et

u_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 - \sqrt{5} \end{matrix})

et

u_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 + \sqrt{5} \end{matrix})

sont des vecteurs propres associés à $lambda$ respectivement $mu$ Les axes de symétrie de

𝒞

sont les droites passant par l'origine de vecteurs directeurs respectifs

u_{1}

et

u_{2}

.

Exercice

Invariants d'une conique

I Formes quadratiques et formes polaires associées
II Orthogonalité
- II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique
- II-2 Signature d'une forme quadratique
III Décomposition en carrés d'une forme quadratique
IV Formes quadratiques sur un espace euclidien
- IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
- IV-2 Bases orthonormées
V Application: Coniques du plan affine euclidien
VI Tous les exercices WIMS utilisés
Index

Les exercices suivants se trouvent aussi au cours du texte.

Formes Polaires
Signature et rang
Réduction de Gauss
Signature d'une forme quadratique
Rang d'une forme quadratique
Formes quadratiques équivalentes
Bases orthogonales
Invariants d'une conique
Formes Polaires
Signature et rang
Réduction de Gauss
Signature d'une forme quadratique
Rang d'une forme quadratique
Formes quadratiques équivalentes
Bases orthogonales
Invariants d'une conique

Formes quadratiques