OEF definicija vektorskega prostora --- Uvod ---

Ta modul vsebuje 13 vaj iz definicije vektorskega prostora. Re¹evalec mora preveriti aksiome iz definicije vektorskega prostora za razlièno definirane mno¾ice in operacije.

Oglejte si tudi zbirki vaj o vektorskih prostorih v splo¹nem ali o definiciji podprostorov.

Kro¾nice

Naj bo M mno¾ica vseh kro¾nic v kartezièni ravnini. Na tej mno¾ici definiramo operaciji se¹tevanja kro¾nic in mno¾enja kro¾nic s skalarji na naslednji naèin:

Èe imata kro¾nici K₁ in K₂ sredi¹èi (x₁,y₁) in (x₂,y₂) ter polmera , potem je njuna vsota K₁ + K₂ kro¾nica s sredi¹èem (x₁+x₂,y₁+y₂) in polmerom .
Èe ima kro¾nica K sredi¹èe (x,y) in polmer , je njen produkt z realnim skalarjem a kro¾nica aK s sredi¹èem (ax,ay) in polmerom .

Ali je tako opremljena mno¾ica M vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Prostor preslikav

Naj bo M mno¾ica vseh preslikav

f: ---> ,

ki jo opremimo z operacijama se¹tevanja in mno¾enja preslikave s skalarjem na naslednji naèin:

Èe sta f₁ in f₂ dve preslikavi iz mno¾ice M, potem je njuna vsota preslikava f₁+f₂: --> , definirana s predpisom (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x) za vsak x iz mno¾ice (se¹tevanje preslikav "po toèkah").
Èe je f preslikava iz mno¾ice M in a neko realno ¹tevilo, potem je njun produkt preslikava af: --> , definirana s predpisom (af)(x)=a(f(x)) za vsak x iz mno¾ice (mno¾enje preslikave s skalarjem "po toèkah").

Ali je tak¹na algebrska struktura M vektorski prostor nad poljem R ?

Absolutna vrednost

Naj bo M=R² mno¾ica vseh urejenih parov realnih ¹tevil. Operaciji se¹tevanja urejenih parov in mno¾enja urejenih parov s skalarji definiramo na naslednji naèin:

(x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
a(x,y) = (|a|x,|a|y).

Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?

Afina premica

Naj bo M premica v ravnini, doloèena z enaèbo c₁x+c₂y=c₃, in naj bo T=(x,y) neka izbrana toèka na tej premici.

Za toèke iz mno¾ice M definiramo operaciji se¹tevanja toèk in mno¾enja toèke z realnim skalarjem na naslednji naèin:

+ = za toèki =(x,y), =(x,y) iz premice M.
= za toèko =(x,y) iz premice M in realni skalar .

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Drugaèno se¹tevanje

Naj bo M mno¾ica urejenih parov realnih ¹tevil, na kateri definiramo operaciji se¹tevanja urejenih parov in mno¾enja urejenega para z realnim skalarjem na naslednji naèin:

(x,y)+(x,y) = (x+y,y+x).
a(x,y) = (ax,ay).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Polja

Ali je mno¾ica vseh z obièajnima operacijama vektorski prostor nad poljem ?

Matrike

Naj bo mno¾ica vseh realnih matrik, ki jo opremimo z obièajnim se¹tevanjem, mno¾enje matrike in realnega skalarja pa definiramo na naslednji naèin: Za matriko iz in realno ¹tevilo naj bo .

Ali je tako dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?

Matrike II

Mno¾ico matrik koeficienti opremimo z obièajnima operacijama se¹tevanja matrik in mno¾enja matrike s skalarji. Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem ¹tevil?

Mno¾enje je deljenje

Naj bo M mno¾ica urejenih parov realnih ¹tevil, ki jo opremimo z obièajnim se¹tevanjem urejenih parov, mno¾enje urejenega para z realnim skalarjem pa definiramo na naslednji naèin:

a(x,y) = (x/a , y/a), èe je a razlièen od 0, in
0(x,y)=(0,0).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Nenièelna ¹tevila

Na mno¾ici M vseh realnih ¹tevil definiramo operaciji (se¹tevanje elementov iz M) in (mno¾enje elementov iz M z realnimi skalarji) na naslednji naèin:

x y=xy (za vsoto vzamemo obièajen produkt!).
a x=x^a (x na eksponent a).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Transafine operacije

Naj bo M mno¾ica vseh urejenih parov realnih ¹tevil. Operaciji (se¹tevanje urejenih parov) in (mno¾enje urejenega para s skalarjem) definiramo na naslednji naèin:

(x,y) (x,y) = (x+x,y+y).
a (x,y) = (ax(),ay()).

Ali je tako definirana algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Transkvadratne operacije

Na mno¾ici urejenih parov $RR$ ² definiramo operaciji (se¹tevanje urejenih parov) in (mno¾enje urejenega para in skalarja) z naslednjima predpisoma:

(x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
a(x,y) = (ax,ay()²).

Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

Enotska kro¾nica

Naj bo M kro¾nica v ravnini, doloèena z enaèbo x²+y²=1. Potem za vsako toèko (x,y) iz M obstaja realno ¹tevilo t, tako da je x=cos(t), y=sin(t), zato lahko operaciji se¹tevanja toèk in mno¾enja toèke s skalarjem definiramo s predpisoma:

(cos(t₁),sin(t₁))+ (cos(t₂),sin(t₂))= (cos(t₁+t₂),sin(t₁+t₂)).
a(cos(t), sin(t))= (cos(at), sin(at)).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih ¹tevil?

D'autres exercices sur :

The most recent version

Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

Description: zbirka vaj iz definicije vektorskega prostora. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, qcm, sciences, language,courses, algebra, linearna algebra, vektor, vektorski prostor