Approximation de lois de probabilité --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur l'approximation de lois de probabilité : approximations de lois discrètes classiques et approximation de lois en utilisant le théorème central limite.

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Soit une variable aléatoire de loi binomiale .
  1. Si on décide d'approcher la loi de par une loi normale, on utilise une loi normale d' et de .
    2. .
    En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale sur l'intervalle [;].
    En rouge, la densité de la loi normale .
  2. On va utiliser cette approximation pour calculer .
    1. Faire le calcul en utilisant l'approximation par la loi normale, avec la correction de continuité, revient à écrire que :
      ( ) ( )
      où est une variable aléatoire de loi normale .
    2. Pour faire le calcul, on écrit l'événement à l'aide d'une variable aléatoire de loi ( ) ( ) ( ) ( )
    3. On en déduit que = .
  3. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la fonction de répartition de la loi , notée = .

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

Soit une variable aléatoire de loi binomiale .
  1. Si on décide d'approcher la loi de par une loi de Poisson, on utilise une loi de Poisson de .
  2. et l'écart-type de la loi de Poisson
    3. En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale sur l'intervalle [;].
    En rouge, le diagramme en bâtons de la loi de Poisson .
  3. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la fonction de répartition de (notée ) et de la fonction de répartition de la loi de Poisson (notée ) à près :
    1. La valeur de obtenue en utilisant la fonction de répartition de .
    2. La valeur approchée de obtenue en utilisant l'approximation de la fonction de répartition de par celle de la loi de Poisson
      .
  4. L'erreur relative que l'on commet en faisant l'approximation de la loi de par la loi de Poisson pour calculer %.

Le décalage d'une montre

On s'aperçoit qu'une montre se décale de plus ou moins secondes chaque jour. On modélise le décalage quotidien en secondes de l'heure indiquée par une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [-, ].
  1. Le décalage (en secondes) que cette montre risque de prendre au bout de jours suit approximativement
    normale
    0 et . .
  2. On cherche à calculer la probabilité, notée , qu'au bout de jours la montre d'au moins .
    Utiliser l'approximation de la loi du décalage par la loi normale , revient à écrire :
    avec
    De cette façon,
    .
  3. Pour obtenir un encadrement de , on va utiliser l'inégalité de Berry-Esseen :
    Soit , , , ..., une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi ayant un moment d'ordre 3 fini. Posons leur espérance, leur écart-type et . Alors,
    pour tout et
    avec (constante obtenue par V. Korolev et I. Shevtsova (2010)).
    Ici, , 0 , et
    . On en déduit donc
    .

Approximation de lois classiques

de ( ) ?
  1. :
  2. Séparez les deux valeurs par une virgule et gardez au moins 4 chiffres significatifs.

Réaction à un vaccin

.
  1. ?
    avec
    • .
      = .
  2. ?
    3. La loi de peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre =.
  3. .

Table de mortalité

Dans , on estime à % . On s'intéresse au devenir de nouveau-nés de .
  1. On peut considérer que, dans ce groupe de , le nombre , est une variable aléatoire qui suit
    Les paramètres doivent être séparés par des virgules et mis dans l'ordre usuel.
    binomiale .
  2. On cherche à calculer une valeur approchée de la probabilité pour que . On va approcher la loi de par
    ne faites un calcul exact que si les critères d'approximation ne sont pas satisfaits.
    3. Vous choisissez d'approcher la loi de par .
  3. En faisant la correction de continuité, vous obtenez
    .
    Vous choisissez d'approcher la loi de par .
  4. Avec cette approximation, vous obtenez
    .
  5. Sans utiliser d'approximation,
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