OEF Séries entières
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les séries entières.
Critères de d'Alembert et de Cauchy
Soit la suite
définie par
.
et la série entière
de rayon de convergence
. Peut-on - appliquer le critère de d'Alembert ?
- appliquer le critère de Cauchy ?
Le rayon de convergence est
=
. S'il est infini, répondre infini.
Développement en série entière
On désire développer en série entière la fonction
. Son rayon de convergence est
et on a dans le disque de convergence
Equations différentielles 1
On se donne l'équation différentielle
.
On suppose que la solution est une série entière de la forme
. Ses coefficients
vérifient une relation de récurrence. On ordonnera les
par indice décroissant : par exemple,
et pas
. Les coefficients doivent être des polynômes en
et l'un d'entre eux doit être égal à 1.
Equations différentielles 2
Une série entière de la forme
vérifie la condition de récurrence .
Elle satisfait l'équation différentielle :
+
+
+
.
+
+
.
On donnera des coefficients entiers, positifs et minimaux.
Rayon de convergence
Trouver le rayon de convergence du développement en série entière de la fonction
. Si le rayon est infini, répondre infini.
Rayon de convergence 2
Calculer le rayon de convergence du développement en série entière de
.
Séries entières (comparaison)
Soit
une suite de nombres complexes telle qu'il existe deux nombres réels
et
tels que
.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Le rayon de convergence de la série entière
est .
Rayon de convergence (séries entières)
Soit
une suite de nombres complexes telle que L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ? Le rayon de convergence
de la série entière
vérifie .
Séries entières (rayon de convergence)
Le rayon de convergence de la série entière
est
.
Peut-on calculer exactement le rayon de convergence de la série
? :
Le rayon de convergence
de la série entière
est
supérieur ou
égal à
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