Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

9 x + 63 = 16 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

9 x + 63 = 16 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 8

? si

x = 9

Quand $x = 8$ , on donne 8 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$9 x + 63 = 9 \times 8 + 63$ , soit 135 et pour l'autre membre, $16 x = 16 \times 8$ soit 128. Les nombres 135 et 128 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 8$ . On dit aussi que 8 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 9$ .
Pour le membre de gauche : $9 x + 63 = 9 \times 9 + 63$ soit 144. Et pour l'autre membre, $16 x = 16 \times 9$ soit 144. Quand $x = 9$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 9 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

x - 12 = 16

, on procède ainsi :

\begin{matrix} x - 12 & = & 16 \\ x - 12 + 12 & = & 16 + 12 \\ x & = & 28 \end{matrix}

La solution de l'équation est

x = 28

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

r + 7 = 25

, on procède ainsi :

\begin{matrix} r + 7 & = & 25 \\ r + 7 - 7 & = & 25 - 7 \\ r & = & 18 \end{matrix}

La solution de l'équation est

r = 18

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

2 f = 30

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 2 f & = & 30 \\ \frac{2 f}{2} & = & \frac{30}{2} \\ f & = & 15 \end{matrix}

La solution de l'équation est

f = 15

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{e}{3} = 5

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{e}{3} & = & 5 \\ \frac{e}{3} \times 3 & = & 5 \times 3 \\ e & = & 15 \end{matrix}

La solution de l'équation est

e = 15

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a neuf fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 3 à la somme de leur âge, on trouve un 33.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a neuf fois son âge, donc son âge est de : $9 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $9 x + x = 10 x$ .
  Si on ajoute 3 à la somme de leur âge, on trouve 33, d'où l'équation $10 x + 3 = 33$
- Résolution
  $\begin{matrix} 10 x + 3 & = & 33 \\ 10 x & = & 33 - 3 \\ 10 x & = & 30 \\ x & = & \frac{30}{10} \\ x & = & 3 \end{matrix}$
Augustin a donc 3 ans. (Bonus : son père a 27 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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