Géométrie du plan : Frises et Pavages

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

La première partie de ce document est conçue comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises (ou ornement linéaires) et des pavages, ce que nous faisons ici.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan. Il doit beaucoup à des documents que m'a donnés Daniel Perrin lors de la préparation de ce cours.

Le plan affine est noté

P

I Frises

II Réseaux et pavages

III D'autres groupes de symétrie

I Frises

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
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I-1 Ornement linéaire

Pour analyser une frise, il faut

déterminer la bande, c'est-à-dire la direction des translations et un motif de translation ;
trouver son groupe ponctuel, les directions des axes de réflexion, l'ordre des rotations ;
placer les éléments de symétrie (centres de rotation, axes de réflexion, axes de réflexion glissée).
déterminer le groupe de ses isométries parmi une liste finie que nous allons donner.
déterminer un motif de base.

Faisons d'abord l'étude mathématique.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification

I-5 Nomenclature

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises

I-1 Ornement linéaire

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-1 Ornement linéaire

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II Réseaux et pavages
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- III-2 Géométrie hyperbolique
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Prenons une bande

B

, c'est-à-dire la zone du plan comprise entre deux droites parallèles et un dessin dans cette bande, c'est-à-dire un sous-ensemble de la bande ou un dessin coloré (un nombre fini de sous-ensembles disjoints de cette bande) contenu dans un parallélogramme et translatons-le dans la direction de la bande de manière à ce qu'il n'y ait pas de superposition, on obtient une frise.

Définition

Un ornement linéaire ou frise est un dessin

F

P

dont le groupe des translations

T (F)

Is (F)

est de la forme

{t_{n \overset{⇀}{u}}, n \in ℤ}

où

\overset{⇀}{u}

est un vecteur non nul.

Définition

Un motif de translation

M

est une partie fermée de

F

, connexe (c'est-à-dire d'un seul morceau) telle que les translatés de

M

par les translations de

Is (F)

recouvrent

F

\cup_{t \in T (F)} M = F

et telle que l'intersection de deux tels translatés soit contenue dans leur frontière. Un motif de base

M

est une partie fermée de

F

, connexe, telle que les images de

M

par les isométries de

Is (F)

recouvrent

F

\cup_{t \in Is (F)} M = F

et telle que l'intersection de deux tels transformés soit contenue dans leur frontière.

Par exemple, un parallélogramme de longueur (dans la direction de la bande) la norme de

\overset{⇀}{u}

est un motif de translation. Par contre, le motif de base dépend de la structure du groupe des isométries.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-1 Ornement linéaire

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

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III D'autres groupes de symétrie
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- III-2 Géométrie hyperbolique
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Définition

Un groupe de symétrie d'un ensemble

Is (F)

est discret s'il existe des réels strictement positifs

m_{1}

m_{2}

tel que

pour toute translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ non nul appartenant à $Is (F)$ , $∥ v ∥ > m_{1}$ ;
pour toute rotation d'angle $theta$ appartenant à $Is (F)$ , $∣ \sin (θ) ∣ \geq m_{2}$ .

Proposition

Is (F)

est discret et laisse fixe un point

A

, il est fini.

Proposition

Le groupe d'un ornement linéaire est discret.

Proposition

Soit

A

un point de

P

. Le groupe ponctuel

{Is}_{A} (F)

d'un ornement linéaire est fini.

Désormais,

F

est un ornement linéaire dont le groupe des translations

T (F)

Is (F)

est de la forme

ℤ \overset{⇀}{u} = {t_{n \overset{⇀}{u}}, n \in ℤ}

avec

\overset{⇀}{u}

un vecteur non nul. On fixe une origne

O

du plan.

Proposition

Soit

D_{O}

la droite vectorielle de direction

\overset{⇀}{u}

Δ_{O}

la perpendiculaire à

D_{O}

passant par

O

. Tout élément de

Is (F)

est de la forme

t \circ g

où

t

est une translation et

g \in {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}} .

Autrement dit, le groupe ponctuel

{Is}_{ponct} (F)

Is (F)

est contenu dans le groupe

V_{4} = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}

.
Démonstration

Soit

g \in Is (F)

et écrivons

g = t_{\overset{⇀}{w}} \circ g_{O}

avec

g_{O}

une isométrie fixant l'origne et

\overset{⇀}{w}

un vecteur.
L'isométrie

g t_{\overset{⇀}{u}} g^{- 1}

transformée de

t_{\overset{⇀}{u}}

par

g

est égale à

t_{g_{O} (\overset{⇀}{u})}

. Comme

t_{\overset{⇀}{u}}

appartient à

Is (F)

t_{g_{O} (\overset{⇀}{u})}

aussi ; donc

g_{O} (\overset{⇀}{u}) \in ℝ \overset{⇀}{u}

. Comme

g_{O} (\overset{⇀}{u})

\overset{⇀}{u}

ont même norme,

g_{O} (\overset{⇀}{u})

est

\overset{⇀}{u}

- \overset{⇀}{u}

.
La droite vectorielle

D_{O}

de direction

\overset{⇀}{u}

est donc stable par

g_{O}

; il en est de même de sa perpendiculaire

Δ_{O}

(

g_{O}

conserve des angles). Donc,

g_{O}

peut être : l'identité, la symétrie centrale

s_{O}

par rapport à

O

, la réflexion axiale par rapport à

D_{O}

ou la réflexion axiale par rapport à

Δ_{O}

Les sous-groupes de

V_{4}

sont faciles à décrire. Il y en a cinq ;

${Is}_{ponct} (F) = {id}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{D_{O}}}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{Δ_{O}}}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}$ .

Exercice

Quel est le groupe ponctuel de chacune des frises suivantes :

Voir aussi Groupe ponctuel d'une frise

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

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II Réseaux et pavages
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Proposition

Il existe au moins une droite affine

D

parallèle à

\overset{⇀}{u}

invariante par

Is (F)

Démonstration

Les droites invariantes par le groupe des translations

T (F)

Is (F)

sont les droites de direction

D_{O}

. Nous allons donc chercher la droite

D

parmi ces droites. Elle doit être invariante par les isométries de

Is (F)

qui ne sont pas des translations.
Prenons une isométrie

g

Is (F)

qui n'est pas une translation. Elle s'écrit

g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ g_{O}

avec

g_{O} = s_{O}

s_{D_{O}}

s_{Δ_{O}}

avec

D_{O}

de direction

\overset{⇀}{u}

Δ_{O}

perpendiculaire à

D_{O}

. Faisons quelques remarques sur les isométries que l'on peut obtenir et les droites qu'elles laissent invariantes :

$g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{O}$ : $g$ est une symétrie centrale de centre un point $A$ ; toute droite passant par $A$ et de direction $D_{O}$ est invariante par $g$ ;
$g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{D_{O}} = t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D}$ avec $D$ droite de direction $D_{O}$ et $\overset{⇀}{w}$ parallèle à $D$ (réflexion ou symétrie glissée) ; on a alors $g^{2} = t_{2 \overset{⇀}{w}}$ . Donc $2 \overset{⇀}{w}$ est un multiple de $\overset{⇀}{u}$ . La droite $D$ est stable par $g$ .
$g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{Δ_{O}} = t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{Δ}$ avec $Delta$ droite de direction $Δ_{O}$ et $\overset{⇀}{w}$ parallèle à $Delta$ ; on a alors $g^{2} = t_{2 \overset{⇀}{w}}$ . Donc $2 \overset{⇀}{w}$ appartient à $T (F)$ ; comme il est perpendiculaire à $\overset{⇀}{u}$ , il est nul. Autrement dit, $g$ est une réflexion d'axe $Delta$ perpendiculaire à $D_{O}$ . Toute droite de direction $D_{O}$ est stable par $g$ .

Reprenons maintenant les cinq cas de groupes ponctuels possibles.

${Is}_{ponct} (F) = {id}$ : toute droite de direction $D_{O}$ est invariante par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{Δ_{O}}}$ ; $Is (F)$ est engendré par $T$ et par $s_{Δ}$ pour $Delta$ une droite de direction $Δ_{0}$ ; toute droite de direction $D_{O}$ est invariante par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}}$ ; toute droite de direction $D_{O}$ est invariante par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{D_{O}}}$ ; il y a dans ${Is}_{ponct} (F)$ une réflexion ou une symétrie glissée d'axe une droite $D$ de direction $D_{O}$ . Cette droite est invariante par les translations de $Is (F)$ et par $s_{D}$ donc par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}$ ; $Is (F)$ est engendré par $T$ et par $t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D}$ , $s_{Δ}$ et $s_{A}$ avec $\overset{⇀}{w}$ parallèle à $D_{O}$ , $D$ une droite de direction $D_{O}$ , $Delta$ perpendiculaire à $D$ et $A$ un point. Montrons que la droite $D$ est stable par $Is (F)$ : il reste à montrer que $D$ est stable par $s_{A}$ (pour les autres, on utilise les cas précédents). Pour cela, il suffit de montrer que $A$ appartient à $D$ . L'isométrie suivante appartient à $Is (F)$ :
$s_{A} \circ t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D} = s_{A} \circ s_{D} \circ t_{\overset{⇀}{w}} = s_{Δ} \circ t_{\overset{⇀}{z}} \circ t_{\overset{⇀}{w}}$
avec $\overset{⇀}{z}$ parallèle à $Delta$ . Son carré est égal à $t_{2 \overset{⇀}{z}}$ et $2 \overset{⇀}{z} \in ℝ \overset{⇀}{u}$ . Donc $\overset{⇀}{z} = 0$ et $A \in D$ .

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-4 Classification

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Théorème

Il y a exactement 7 groupes de symétrie d'ornements à conjugaison près par une similitude.

On choisit une droite

D

invariante par

Is (F)

parallèle à

\overset{⇀}{u} \in T (F)

F1
${Is}_{ponct} (F) = {id}$ .
Pas grand chose à dire. Le groupe des isométries se réduit au groupe des translations. Il n'y a pas d'axes de symétrie, pas de centre de rotation.

.
F1m
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{Δ_{O}}}$ .
Une isométrie qui n'est pas une translation est de la forme $s_{Δ}$ avec $Delta$ une droite perpendiculaire à $D$ . Les éléments de $Is (F)$ sont de la forme $t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}$ ou $t_{n \overset{⇀}{u}}$ , autrement dit $t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{ε}$ avec $ε = 0$ ou 1. Les axes de symétrie sont distants de $∥ \overset{⇀}{u} ∥ / 2$ . On peut décrire entièrement la loi de groupe par :
$(t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{ε}) \circ (t_{m \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{η}) = t_{(n + (- 1)^{ε} m) \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{ε + η} .$

.
F1lm
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{D_{O}}}$ et il existe une réflexion axiale $s_{D}$ dans $Is (F)$ .
Les éléments du groupe sont de la forme $t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{D}^{ε}$ avec $n \in ℤ$ et $epsilon$ égal à 0 ou 1. La loi de groupe sur $Is (F)$ est décrite par
$(t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{D}^{ε}) \circ (t_{m \overset{⇀}{u}} \circ s_{D}^{η}) = t_{(n + m) \overset{⇀}{u}} \circ s_{D}^{ε + η} .$
Le groupe est donc commutatif.

.
F1lg
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{D_{O}}}$ et il n'existe pas de réflexion axiale dans $Is (F)$ .
Par contre, la réflexion glissée $t_{\overset{⇀}{v} / 2} \circ s_{D}$ appartient à $Is (F)$ . Les éléments de $Is (F)$ sont les $t_{n \overset{⇀}{v}}$ et les $t_{(n + 1 / 2) \overset{⇀}{v}} \circ s_{D}$ pour $n \in ℤ$ . Le groupe est commutatif.

.
F2
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}}$ .
Les isométries qui ne sont pas des translations sont de la forme $t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{A}$ , c'est-à-dire des symétries centrales $s_{B}$ par rapport à un point $B$ . On a $s_{A} \circ s_{B} = t_{2 \vec{B A}}$ . Donc les centres de rotation consécutifs sont à la distance $∥ u ∥ / 2$ . La loi de groupe est de nouveau donnée par
$(t_{n \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{ε}) \circ (t_{m \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{η}) = t_{(n + (- 1)^{ε} m) \overset{⇀}{u}} \circ s_{Δ}^{ε + η} .$
avec $epsilon$ et $eta$ égaux à 0 ou à 1.

.
F2mm
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}$ et il existe une réflexion axiale $s_{D}$ dans $Is (F)$ . On a aussi dans $Is (F)$ une réflexion axiale $s_{Δ}$ et une symétrie centrale de centre $A$ avec $A$ l'intersection de $Delta$ et de $D$ .

.
F2mg
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}$ et il n'existe pas de réflexion axiale d'axe $D_{0}$ dans $Is (F)$ .
Par contre, il existe une réflexion axiale $s_{Δ}$ et une symétrie centrale de centre $A$ . Les axes $Delta$ sont distants de $∥ \overset{⇀}{u} ∥ / 2$ . On a
$s_{A} \circ s_{Δ} = t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D}$
avec $\overset{⇀}{w} = 2 \vec{A H}$ avec $H$ la projection de $A$ sur $Delta$ .

.

Exercice

A partir des lettres de l'alphabet, dessiner un ornement de chaque type.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-4 Classification

I-5 Nomenclature

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-5 Nomenclature

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Expliquons les principes de la nomenclature pour les frises (il y a diverses nomenclatures, le tout est d'en choisir une et de la comprendre, elles fonctionnent toutes sur le même principe !) On fait aussi le cas des pavages (le groupe des translations est engendré par deux translations de vecteurs non colinéaires).
On choisit les axes de manière à ce que les axes de symétrie soient perpendiculaires à l'un ou l'autre. Il y a plusieurs caractères. Leur signification est :

une lettre $f$ (en dimension 1) , $p$ , $c$ (en dimension 2) :
- $f$ quand les translations sont dans une seule direction (groupe de translation isomorphe à $ℤ$ );
- $p$ si les centres de rotation se trouvent sur les axes de symétrie;
- $c$ si les centres de rotation ne se trouvent pas sur les axes de symétrie.
un entier $n$ indiquant le plus grand ordre de rotation
un symbole indiquant un axe de symétrie perpendiculaire à l'axe des $x$
- $m$ pour symétrie miroir,
- $g$ pour symétrie glissée
- $l$ pour rien
(cas des pavages) un symbole indiquant un axe de symétrie faisant un angle (différent de l'angle droit) avec l'axe des $x$ .
- $m$ pour symétrie miroir,
- $g$ pour symétrie glissée
- $l$ pour rien

A partir de ces règles, on peut simplifier en supprimant ce qui n'est pas essentiel, c'est-à-dire n'apportera pas de confusion possible ... On enlève par exemple le 1 en deuxième position, le

l

en dernière position (puisqu'il indique qu'il n'y a rien) ... On remplace aussi de temps en temps le

l

par un

1

...à conjugaison près par une similitude} ? Pratiquement, si vous avez deux frises de même groupe dans le plan, quelles similitudes vont intervenir ? Donner un exemple : faire deux dessins de frises ayant le même groupe de symétrie sur votre feuille et indiquer la similitude en question.

Exercice

Justifier l'expression Il y a exactement. Vérifier qu'en effet on ne peut pas passer de l'un des 7 groupes à un autre par conjugaison par une similitude.

{comment}

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II Réseaux et pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages

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II-1 Définition d'un pavage

Nous allons étudier ici les pavages réguliers. On parle alors simplement de pavé au lieu de pavé fondamental. Nous reviendrons plus tard sur ce que signifie les classifier.
Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier le cas particulier où le pavé fondamental est un parallélogramme, c'est-à-dire nous intéresser d'abord au sous-groupe des translations.

II-2 Réseaux

Passons à un pavage

Pav

. Soit

T

le sous-groupe des translations et

L

le réseau associé. Le groupe du pavage

Is (Pav)

est contenu dans dans le groupe

Is (L)

du réseau

L

II-3 Classifions les pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages

II-1 Définition d'un pavage

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-1 Définition d'un pavage

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Index

Définition

Des sous-ensembles de

ℝ

(qu'on appelle alors pavés) réalisent un pavage de

P

si les conditions suivantes sont vérifiées :

chacun de ces sous-ensembles est un fermé borné (compact) d'intérieur non vide.
la réunion de ces sous-ensembles est égale à $P$ .
deux quelconques de ces sous-ensembles ont toujours une intersection vide ou contenue dans leur frontière.

Ne pas hésiter à donner aux mots frontière et intérieur leur sens en langage naturel.

Définition

Un pavage est régulier si tous les pavés sont isométriques.

Une autre définition directe possible est la suivante :
Définition

On appelle pavage régulier du plan la donnée d'un compact (appelé pavé fondamental)

P

ℝ^{2}

, d'intérieur non vide et d'un sous-groupe

G

du groupe des isométries de

ℝ^{2}

tel que

$\cup_{g \in G} g (P) = ℝ^{2}$
si $g (P) \cap h (P)$ est d'intérieur non vide, $g (P) = h (P)$ .

Le groupe des isométries du pavage est le groupe des isométries de

ℝ^{2}

laissant le pavage inchangé.
On utilisera aussi des pavage colorié : dans ce cas et sans donner de définitions précises et lourdes, les couleurs doivent être transformées par les isométries.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-1 Définition d'un pavage

II-2 Réseaux

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux

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II-2-1 Définition

II-2-2 Base réduite d'un réseau

Nous allons maintenant étudier les groupes de symétries d'un réseau et voir qu'il n'y a que 5 possibilités.

II-2-3 Condition cristallographique

II-2-4 Les types de réseaux

II-2-5 Que signifie classifier ?

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux

II-2-1 Définition

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-1 Définition

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Index

Soient deux vecteurs

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

du plan affine

ℝ^{2}

muni du repère affine

(O, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})

. Dessinons l'ensemble des points

M

ℝ^{2}

tels que

\vec{OM} = n \overset{⇀}{u} + m \overset{⇀}{v}

avec

n

m

entiers relatifs. On appelle ces points des noeuds et leur ensemble un réseau. Les vecteurs du réseau sont les vecteurs

n \overset{⇀}{u} + m \overset{⇀}{v}

. On dit que

(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})

est une base du réseau.
Le pavé (maille du réseau) formé des points

x \overset{⇀}{u} + y \overset{⇀}{v}

avec

x

y

compris entre 0 et 1 et le groupe de symétrie formé des translations

n \overset{⇀}{u} + m \overset{⇀}{v}

avec

n

m

entiers relatifs forment un pavage du plan.

Exercice

Dessiner les réseaux suivants et justifier leur nom :

$(\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{i} + 2 \overset{⇀}{j})$ : réseau oblique
$(\overset{⇀}{i}, 2 \overset{⇀}{j})$ : réseau rectangle
$(\overset{⇀}{i}, \frac{1}{2} \overset{⇀}{i} + 2 \overset{⇀}{j})$ : réseau losange
$(\overset{⇀}{i}, \frac{1}{3} \overset{⇀}{i} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \overset{⇀}{j})$ : réseau losange
$(\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})$ : réseau carré
$(\overset{⇀}{i}, \frac{1}{2} \overset{⇀}{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \overset{⇀}{j})$ : réseau hexagonal ou équilatéral

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-1 Définition

II-2-2 Base réduite d'un réseau

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-2 Base réduite d'un réseau

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Un réseau a de nombreuses bases. On aimerait trouver des bases qui soient le plus orthonormées possibles : norme des vecteurs petite et angle des vecteurs le plus proche possible de

π / 2

Proposition

Soit

L

un réseau. On peut trouver une base

(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})

L

telle que

$∥ \overset{⇀}{v} ∥ \geq ∥ \overset{⇀}{u} ∥$ .
$0 \leq ⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩ \leq \frac{∥ u ∥^{2}}{2}$ .

Une telle base est appelée base réduite. En particulier, l'angle des vecteurs

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

est compris entre 60 degrés et 90 degrés.

Proposition

Soit

L

un réseau et

(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})

une base réduite. Alors,

\overset{⇀}{u}

est de norme minimale parmi les vecteurs de

L

\overset{⇀}{v}

est de norme minimale parmi les vecteurs de

L

différents de

\pm \overset{⇀}{u}

Démonstration

Soit

(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})

une base réduite. Posons

A = \frac{⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩}{∥ u ∥^{2}} \leq \frac{1}{2} .

\overset{⇀}{w}

est un vecteur de

L

\overset{⇀}{w} = n \overset{⇀}{u} + m \overset{⇀}{v}

$∥ \overset{⇀}{w} ∥ \geq ∥ \overset{⇀}{u} ∥$ : Si $n$ ou $m$ est nul, cela est clair. Sinon, on développe :
$∥ \overset{⇀}{w} ∥^{2} = n^{2} ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} + m^{2} ∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2} + 2 n m A ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}$

$\geq n^{2} ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} + m^{2} ∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2} - ∣ n ∣ ∣ m ∣ ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}$

$= (n^{2} + m^{2} - 2 ∣ n ∣ ∣ m ∣) ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} + m^{2} (∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2} - ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}) + ∣ n ∣ ∣ m ∣ ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}$

$\geq ∣ n m ∣ ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} \geq ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} .$
De plus, on a l'égalité si et seulement si $nm = - 1$ , $∥ \overset{⇀}{v} ∥ = ∥ \overset{⇀}{u} ∥$ et $A = \frac{1}{2}$ , autrement dit pour les vecteurs $\pm (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v})$ dans le cas où l'angle de $\overset{⇀}{u}$ et de $\overset{⇀}{v}$ est de 60 degrés.
si $m \neq 0$ , $∥ \overset{⇀}{w} ∥ \geq ∥ \overset{⇀}{v} ∥$ : Si $n = 0$ , cela est clair. Sinon,
$∥ \overset{⇀}{w} ∥^{2} \geq m^{2} (∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2} - ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}) + ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} = (m^{2} - 1) (∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2} - ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}) + ∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2} \geq ∥ \overset{⇀}{v} ∥^{2}$
De plus, on a l'égalité si et seulement si $m^{2} = 1$ , $nm = - 1$ et $A = \frac{1}{2}$ , autrement dit pour les vecteurs $\pm (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v})$ dans le cas où l'angle de $\overset{⇀}{u}$ et de $\overset{⇀}{v}$ est de 60 degrés. Sans oublier bien sûr les vecteurs $\pm \overset{⇀}{v}$ et éventuellement $\pm \overset{⇀}{u}$ .

Pour construire une base réduite, quelques idées à comprendre d'abord :
Exercice [ Retrancher à

\overset{⇀}{v}

un multiple de

\overset{⇀}{u}

]

Vérifier que si deux vecteurs

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

font un angle $theta$ compris entre 0 et

π / 3

, alors

\overset{⇀}{w} = \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}

est de norme plus petite que

\overset{⇀}{v}

et l'angle entre

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{w}

est plus grand que l'angle $theta$ .

Exercice [ Comment choisir ce multiple ]

Comment trouver

r

entier pour que

\overset{⇀}{v} - r \overset{⇀}{u}

soit de norme minimale parmi les vecteurs de la forme

\overset{⇀}{v} - k \overset{⇀}{u}

pour

k

entier ? Étudier la fonction

f

définie par

f (x) = ∥ \overset{⇀}{v} - x \overset{⇀}{u} ∥^{2}

. Que peut-on dire alors de l'angle de

\overset{⇀}{u}

avec

\overset{⇀}{v}

, c'est-à-dire du produit scalaire

⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩

Algorithme

On part des deux vecteurs de base du réseau et on appelle

\overset{⇀}{u}

celui qui est de plus petite norme et

\overset{⇀}{v}

l'autre. Soit

r

l'entier le plus proche de

s = ⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩ / ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}

. Ainsi,

∣ r - s ∣ < \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} \leq \frac{⟨ \overset{⇀}{v} - r \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{u} ⟩}{∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2}} = s - r \leq \frac{1}{2} .

Si la norme de $\overset{⇀}{v} - r \overset{⇀}{u}$ est plus petite que celle de $\overset{⇀}{u}$ , on remplace $\overset{⇀}{v}$ par $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{u}$ par $\overset{⇀}{v} - r \overset{⇀}{u}$ .
1. Si le produit scalaire de $\overset{⇀}{u}$ et de $\overset{⇀}{v}$ (les nouveaux) est négatif, on remplace $\overset{⇀}{v}$ par $- \overset{⇀}{v}$ .
2. On recommence.
Sinon ( $∥ \overset{⇀}{v} - r \overset{⇀}{u} ∥ \geq ∥ \overset{⇀}{u} ∥$ ), on choisit $\overset{⇀}{v'} = \overset{⇀}{v} - r \overset{⇀}{u}$ ou $- \overset{⇀}{v} + r \overset{⇀}{u}$ , de manière à ce que $0 \leq ⟨ \overset{⇀}{v'}, \overset{⇀}{u} ⟩$ ; alors, $(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v'})$ est une base réduite car
$0 \leq ⟨ \overset{⇀}{v'}, \overset{⇀}{u} ⟩ \leq \frac{1}{2} ∥ \overset{⇀}{u} ∥^{2} .$

Proposition

si $∥ \overset{⇀}{v} ∥ = ∥ \overset{⇀}{u} ∥$ , les seuls vecteurs de norme $∥ \overset{⇀}{u} ∥$ sont $\pm \overset{⇀}{u}$ et $\pm \overset{⇀}{v}$ ainsi que $\pm (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v})$ si l'angle de $\overset{⇀}{u}$ et de $\overset{⇀}{v}$ est $\pm π / 3$ .
si $∥ \overset{⇀}{v} ∥ > ∥ \overset{⇀}{u} ∥$ , les seuls vecteurs de norme $∥ \overset{⇀}{u} ∥$ sont $\pm \overset{⇀}{u}$ . Les seuls vecteurs de norme $∥ \overset{⇀}{v} ∥$ sont $\pm \overset{⇀}{v}$ .

Démonstration

Supposons

∥ \overset{⇀}{v} ∥ = ∥ \overset{⇀}{u} ∥

et soit

A = ⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩ / ∥ u ∥^{2}

. Les vecteurs

\pm \overset{⇀}{u}

\pm \overset{⇀}{v}

conviennent bien sûr. Pour

m

n

différents de 0, on a

\frac{∥ \overset{⇀}{u} + m \overset{⇀}{v} ∥^{2}}{∥ u ∥^{2}} = n^{2} + m^{2} + 2 mn A

\geq (n^{2} + m^{2} - 2 ∣ m ∣ ∣ n ∣) + ∣ m ∣ ∣ n ∣ \geq 1 .

Pour avoir l'égalité, il faut que

∣ n ∣ = ∣ m ∣ = 1

et que

2 x = 1

mn = 1

. On obtient alors les vecteurs

\pm (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v})

.
Supposons maintenant

∥ \overset{⇀}{v} ∥ > ∥ \overset{⇀}{u} ∥

. On a déjà vu que les seuls vecteurs de norme

∥ \overset{⇀}{u} ∥

sont

\pm \overset{⇀}{u}

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-2 Base réduite d'un réseau

II-2-3 Condition cristallographique

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-3 Condition cristallographique

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Proposition

Soit

L

un réseau.

Toute rotation du groupe de symétrie d'un réseau est d'ordre 1, 2, 3, 4 ou 6.
Soit $H$ un sous-groupe fini du groupe de symétrie de $L$ . Alors, $H$ est un des groupes $C_{n}$ , $D_{n}$ pour $n = 1$ , 2, 3, 4 ou 6.

Ainsi, les ordres possibles de

H

sont 1, 2, 3, 4, 6, 8 ou 12.
Nous utiliserons dans la démonstration le principe de conjugaison : L'image du centre de rotation d'une rotation d'un groupe de symétrie par une autre rotation du groupe de symétrie est encore un centre de rotation d'un élément du groupe.
Démonstration

Soit

G

le groupe de symétrie d'un réseau. Soient deux rotations

r_{P}

r_{Q}

appartenant à

G

de centre respectivement

P

Q

et d'ordre

\geq 2

. Prenons-les de manière que la distance de

P

Q

soit minimale [demande un mot d'explication]. Soit

n

l'ordre de

r_{P}

. L'isométrie

r_{P} \circ r_{Q} \circ r_{P}^{- 1}

est une rotation de centre

R = r_{P} (Q)

. L'angle

\hat{QPR}

est égal à

2 π / n

et le triangle est isocèle en

P

. On a donc

Q R = 2 P Q \sin (π / n)

. Comme

Q R

est supérieur ou égal à

P Q

, on a

\sin (π / n) \geq 1 / 2

, donc

π / n \geq π / 6

n \leq 6

.
Donc

n

est égal à 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Éliminons le cas

n = 5

.
Supposons qu'il y ait une rotation d'ordre 5 et prenons deux centres

P

Q

d'ordre 5 à distance minimum. Si on transforme le centre de rotation

Q

par la rotation de centre

P

et ses puissances, on obtient cinq points sur le cercle de centre

P

et de rayon

P Q

. On recommence en transformant les centres de rotation

P

par les rotations de centre

Q

. Un petit calcul (ou un dessin) montre que l'on peut alors trouver deux centres de rotation plus proches que ne le sont

P

Q

, contradiction.

Remarque

Les cas

n = 2

, 3, 4, 6 ne peuvent pas être éliminés par cet argument :

$n = 2$
$n = 3$
$n = 4$
$n = 5$
$n = 6$
$n = 7$

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-3 Condition cristallographique

II-2-4 Les types de réseaux

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-4 Les types de réseaux

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Soit (

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

) une base réduite. Notons $theta$ l'angle de

\overset{⇀}{u}

et de

\overset{⇀}{v}

. Il est compris entre

π / 3

π / 2

(entre 60 et 90 degrés).

réseau oblique : aucune relation spéciale entre les vecteurs
réseau rectangle : $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{v}$ sont perpendiculaires ;
réseau losange : $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{v}$ sont de même longueur ;
réseau carré : $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{v}$ sont perpendiculaires et de même longueur ;
réseau hexagonal ou équilatéral : $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{v}$ sont de même longueur et forment un angle de 60 degrés ;

Dans chacun de ces cas, calculons le groupe des isométries

{Is}_{O} (L)

L

laissant fixe l'origine. On note $theta$ l'angle des vecteurs

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

pour

(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})

une base réduite.

Proposition

Le groupe

{Is}_{O} (L)

est déterminé de la manière suivante :

réseau oblique, p1
$∥ u ∥ \neq ∥ v ∥$ , $theta$ quelconque. Le groupe ${Is}_{O} (L)$ est un groupe cyclique d'ordre 2 (type $C_{2}$ ) :
${Is}_{O} (L) = {id, s_{O}} .$
(contenu dans $O_{2}^{+} (ℝ)$ ).
{exF}

{exF}
réseau rectangle, p1mm
$∥ u ∥ \neq ∥ v ∥$ , $θ = π / 2$ . Le groupe ${Is}_{O} (L)$ est le groupe d'un rectangle, il est diédral d'ordre 4 ( $D_{2}$ , mais on le connait aussi sous le nom de groupe de Klein $V_{4}$ ) :
${Is}_{O} (L) = {id, s_{O}, s_{u}, s_{v}} .$

{exF}

{exF}
réseau losange, p6mm
$∥ u ∥ = ∥ v ∥$ , $theta$ quelconque. Le groupe de symétrie ${Is}_{O} (L)$ est le groupe d'un losange, il est diédral d'ordre 4 ( $D_{2} = V_{4}$ ) :
${Is}_{O} (L) = {id, s_{O}, s_{2 u - v}, s_{2 v - u}}$

{exF}

{exF}
réseau carré, p4mm
$∥ u ∥ = ∥ v ∥$ , $θ = π / 2$ . Le groupe ${Is}_{O} (L)$ est le groupe d'un carré, c'est un groupe diédral d'ordre 8 ( $D_{4}$ ) :
${Is}_{O} (L) = {id, r_{π / 2}, s_{O}, r_{π / 2}^{3}, s_{u}, s_{v}, s_{u + v}, s_{u - v}}$

{exF}

translate

{exF}
réseau hexagonal ou équilatéral, c1mm
$∥ u ∥ = ∥ v ∥$ , $θ = π / 3$ . Le groupe ${Is}_{O} (L)$ est le groupe d'un hexagone, il est diédral d'ordre 12 ( $D_{6}$ ) :
${Is}_{O} (L) = {id, r_{π / 3}, r_{π / 3}^{2}, s_{O}, r_{π / 3}^{4}, r_{π / 3}^{5}, s_{u}, s_{v}, s_{2 u - v}, s_{2 v - u}}$

{exF}

{exF}

Démonstration

Rappelons que

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

ont été choisis de manière à ce que

∥ u ∥ \leq ∥ v ∥

et que

0 \leq ⟨ u, v ⟩ \leq \frac{∥ u ∥^{2}}{2}

.
Le groupe

{Is}_{O} (L)

contient toujours l'identité et la symétrie centrale

s_{O}

de centre

O

.
Soit

g

une isométrie laissant fixe

O

Supposons d'abord que $∥ u ∥ < ∥ v ∥$ . Les seuls vecteurs de norme $∥ u ∥$ sont $\pm \overset{⇀}{u}$ . Donc, $g (\overset{⇀}{u}) = \pm \overset{⇀}{u}$ . On pose $g_{0} = g$ ou $s_{O} \circ g$ , de manière à ce que $g_{0} (\overset{⇀}{u}) = \overset{⇀}{u}$ . Que peut-on dire de $g_{0} (\overset{⇀}{v})$ ?
Lorsque $⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩$ est différent de $\frac{∥ u ∥^{2}}{2}$ , les seuls vecteurs de norme égale à celle de $\overset{⇀}{v}$ sont $\pm \overset{⇀}{v}$ , donc $g_{0} (\overset{⇀}{v}) = \pm \overset{⇀}{v}$ . On a d'autre part $⟨ g_{0} (\overset{⇀}{v}), \overset{⇀}{u} ⟩ = ⟨ g_{0} (\overset{⇀}{v}), g_{0} (\overset{⇀}{u}) ⟩ = ⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩$ .
1. Si $⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩ \neq 0$ , on a nécessairement $g_{0} (\overset{⇀}{v}) = \overset{⇀}{v}$ . Donc $g_{0}$ est l'identité et $g$ est soit $s_{0}$ ou l'identité.
2. Si $⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩ = 0$ , on peut avoir $g_{0} (\overset{⇀}{v}) = \overset{⇀}{v}$ ou $- \overset{⇀}{v}$ . Donc $g_{0}$ est égale à $id$ ou $s_{\overset{⇀}{v}}$ et $g$ est égale à $id$ , $s_{O}$ , $s_{\overset{⇀}{v}}$ ou à $s_{O} \circ s_{\overset{⇀}{v}} = s_{\overset{⇀}{u}}$ .
3. Si $⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩$ est égal à $\frac{∥ u ∥^{2}}{2}$ , on peut aussi avoir $g (\overset{⇀}{v}) = \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}$ puisque
  $⟨ g (\overset{⇀}{v}), g (\overset{⇀}{u}) ⟩ = ⟨ \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩ = (1 - 1 / 2) ∥ \overset{⇀}{u} ∥ = ⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩$
  et $g$ est alors égale à la réflexion par rapport à la droite vectorielle de direction $\overset{⇀}{u}$ . Finalement, $g$ peut être égale à $id$ , $s_{O}$ , $s_{\overset{⇀}{v}}$ ou à $s_{O} \circ s_{\overset{⇀}{v}} = s_{\overset{⇀}{u}}$ . Dans ce cas, le parallélogramme construit à l'aide des vecteurs $\overset{⇀}{v}$ , $\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}$ (qui forment une autre base de $L$ ) est un losange. Le parallèlogramme construit à partir de la base réduite $(\overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})$ n'est ni un rectangle, ni un losange ...
Supposons maintenant que $∥ u ∥ = ∥ v ∥$ .
1. Lorsque $⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩$ est différent de $\frac{∥ u ∥^{2}}{2}$ , ce qui signifie ici que l'angle de $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{v}$ est différent de 60 degrés ( $π / 3$ ), les quatre vecteurs $\overset{⇀}{u}$ , $- \overset{⇀}{u}$ , $\overset{⇀}{v}$ , $- \overset{⇀}{v}$ sont de même norme. En utilisant la condition de conservation du produit scalaire, on vérifie qu'on peut obtenir $g (\overset{⇀}{u}) = \pm \overset{⇀}{u}$ , $g (\overset{⇀}{v}) = \pm \overset{⇀}{v}$ ou $g (\overset{⇀}{u}) = \overset{⇀}{v}$ , $g (\overset{⇀}{v}) = \pm \overset{⇀}{u}$ , c'est-à-dire $id$ , $s_{O}$ , $s_{\overset{⇀}{u}}$ , $s_{\overset{⇀}{v}}$ , $s_{\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}}$ , $s_{\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}}$ .
2. Lorsque $⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩$ est égal à $\frac{∥ u ∥^{2}}{2}$ , c'est-à-dire lorsque l'angle de $\overset{⇀}{u}$ et $\overset{⇀}{v}$ est égal à 60 degrés, les six vecteurs $\overset{⇀}{u}$ , $- \overset{⇀}{u}$ , $\overset{⇀}{v}$ , $- \overset{⇀}{v}$ , $\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}$ et $\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}$ sont de même norme que $\overset{⇀}{u}$ . Si $g (\overset{⇀}{u}) = \overset{⇀}{v}$ , $⟨ g (\overset{⇀}{v}), \overset{⇀}{v} ⟩ = ⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{u} ⟩ = 1 / 2 ∥ u ∥^{2}$ . On essaye les cinq possibilités restantes pour $g (\overset{⇀}{v})$ ; seules sont possibles $g (\overset{⇀}{v}) = \overset{⇀}{u}$ (déjà trouvée) ou $g (\overset{⇀}{v}) = \overset{⇀}{v} - \overset{⇀}{u}$ , ce qui donne la rotation d'angle $π / 3$ . On fait de même pour $g (\overset{⇀}{u}) = \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}$ et on trouve sans étonnement les rotations d'angle $k π / 3$ avec $k = 0, . . ., 5$ .

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-4 Les types de réseaux

II-2-5 Que signifie classifier ?

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-5 Que signifie classifier ?

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Nous venons de calculer le groupe des isométries laissant fixe un réseau

L

et l'origine

O

. On a obtenu quatre groupes possibles non isomorphes :

C_{2}

D_{2}

D_{4}

D_{6}

. On a d'autre part obtenu deux fois le groupe

D_{2}

. Comment peut-on les distinguer ? On a plusieurs manières de dire que deux réseaux sont équivalents mais ces manières ne sont pas équivalentes.
Les notations sont perso ...

Définition

Deux réseaux

L_{1}

L_{2}

sont (lin)-équivalents s'il existe une application linéaire

g

P

dans

P

tels que

g (L_{1}) = L_{2}

Pas très intéressant : deux réseaux sont toujours (lin)-équivalents.

Définition

Deux réseaux

L_{1}

L_{2}

sont (sim)-équivalents (semblables) s'il existe une similitude

g

P

dans

P

tels que

g (L_{1}) = L_{2}

Très restrictif : en "déplaçant" le réseau dans le plan euclidien (en le translatant, en le faisant tourner, en zoomant, en le reflétant dans un miroir ...), on obtient un réseau équivalent et simplement comme cela.

Définition

Deux réseaux

L_{1}

L_{2}

sont (groupe)-équivalents si leurs groupes d'isométries linéaires

{Is}_{O} (L_{1})

{Is}_{O} (L_{2})

sont isomorphes.

Un peu mieux : il y a maintenant quatre types de réseaux à "groupe-équivalence près" correspondant aux groupes

C_{2}

D_{2}

D_{4}

D_{6}

Définition

Deux réseaux

L_{1}

L_{2}

sont (lin-groupe)-équivalents s'il existe une application linéaire

g

P

dans

P

telle que

g (L_{1}) = L_{2}

et telle que

g {Is}_{O} (L_{1}) g^{- 1} = {Is}_{O} (L_{2}) .

Cette définition permet de retrouver les cinq types de réseaux oblique, rectangle, carré, losange et hexagonal. Si vous disposez de deux réseaux de même type, pour montrer qu'ils sont (lin-groupe)-équivalents, on choisit pour

g

une application linéaire envoyant une base réduite de l'un sur une base réduite de l'autre. Mais il reste quelque chose à montrer : le réseau losange

L_{los}

et le réseau rectangle

L_{rect}

ne sont pas équivalents, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'application linéaire

g

telle

g (L_{los}) = L_{rect}

et telle que

g {Is}_{O} (L_{rect}) g^{- 1} = {Is}_{O} (L_{los}) .

Démonstration

Soit

s

une réflexion de

{Is}_{O} (L_{rect})

, la droite invariante est de direction un des vecteurs du réseau

L_{rect}

. Si

g

existait, alors

g s g^{- 1}

serait une réflexion par rapport à une droite de direction un des vecteurs du réseau

L_{los}

. Mais une telle réflexion n'existe pas dans

{Is}_{O} (L_{los})

Soit

T (L)

le groupe des translations de

Is (L)

, c'est-à-dire le groupe des

t_{\overset{⇀}{w}}

pour

w \in L

.
Les définitions précédentes sont encore valables en remplaçant

{Is}_{O} (L)

par

Is (L)

et donnent le même résultat. Cela vient de la proposition suivante :

Proposition

Soit

g \in Is (L)

. Alors,

g = t_{\overset{⇀}{w}} \circ g_{O}

avec

\overset{⇀}{w} \in L

g_{O} \in {Is}_{O} (L)

. Autrement dit, le groupe ponctuel de

L

est égal au sous-groupe de

Is (L)

formé des isométries laissant fixe

O

Démonstration

Soit

g \in Is (L)

A

l'image par

g

de l'origine

O

. Ce point

A

est un point du réseau, donc le vecteur

\overset{⇀}{w}

appartient à

L

. Soit

g' = t_{- \overset{⇀}{w}} \circ g

. Comme

t_{- \overset{⇀}{w}}

g

laissent invariant

L

, il en est de même de

g'

. De plus

g' (O) = t_{- \overset{⇀}{w}} (A) = O

, ce qui démontre que

g' \in Is (L)

Cette proposition peut sembler évidente. Cependant, le fait que

L

est un réseau joue un rôle important. Cela ne serait pas vrai pour n'importe quel ensemble à la place de

L

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-2 Réseaux → II-2-5 Que signifie classifier ?

II-3 Classifions les pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Nous allons classifier les pavages selon l'équivalence suivante.

Définition

Deux pavages

{Pav}_{1}

{Pav}_{2}

sont équivalents s'il existe une application affine

g

P

dans

P

telle que

$g (L_{1}) = L_{2}$
$g Is ({Pav}_{1}) g^{- 1} = Is ({Pav}_{2})$

si les réseaux

L_{1}

L_{2}

sont respectivement les réseaux de

{Pav}_{1}

et de

{Pav}_{2}

La symétrie de

Pav

ne peut que diminuer par rapport à celle de

L

{Is}_{ponct} (Pav) \subset {Is}_{O} (L) .

On va donc énumérer les différentes possibiités selon le groupe

{Is}_{O} (L)

II-3-1 Le groupe ponctuel est contenu dans celui d'un réseau oblique

II-3-2 Le groupe ponctuel est contenu celui d'un réseau rectangle

II-3-3 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du losange

II-3-4 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du carré

II-3-5 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du réseau hexagonal

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages

II-3-1 Le groupe ponctuel est contenu dans celui d'un réseau oblique

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-1 Le groupe ponctuel est contenu dans celui d'un réseau oblique

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

p1
${Is}_{ponct} = {Id}$ . Le pavé de translation est un pavé de base. On a donc fait tomber la symétrie par rapport à celle du réseau.

. . .

.
p2
${Is}_{ponct} (Pav) = {Id, s_{O}}$ $Is (P)$ contient une symétrie centrale $s_{O}$ pour un point $O$ . Prenons ce point pour origine.
Les éléments de $Is (Pav)$ sont de la forme $t_{w} \circ s_{O}^{ε}$ avec $ε = 0$ ou 1. Le produit de deux éléments se calcule de la manière suivante
$s_{A}^{2} = id$

$t_{\overset{⇀}{w}} \circ t_{\overset{⇀}{z}} = t_{\overset{⇀}{w + z}}$

$s_{O} \circ t_{w} = t_{- w} \circ s_{O}$

$(t_{w} \circ s_{O}^{ε}) \circ (t_{z} \circ s_{O}^{η}) = t_{w - z} \circ s_{O}^{η + ε}$

Invariants de symétrie : les centres de rotation (symétrie) forment un réseau homothétique de $T$ de rapport 1/2.
Les éléments qui ne sont pas des translations sont des symétries centrales par rapport à un point $A$ de $\frac{1}{2} L$ .

. . .

.

{dem} Soient $A$ et $B$ deux points tels que $s_{A}$ et $s_{B}$ appartiennent à $G$ . Alors $s_{A} \circ s_{B}$ doit appartenir à $T$ . Comme $s_{A} \circ s_{B} = t_{2 \vec{A B}}$ , on a nécessairement $\vec{A B} \in L / 2$ . D'autre part, $s_{O}$ appartient à $G$ . {dem}

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-1 Le groupe ponctuel est contenu dans celui d'un réseau oblique

II-3-2 Le groupe ponctuel est contenu celui d'un réseau rectangle

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-2 Le groupe ponctuel est contenu celui d'un réseau rectangle

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Prenons un rectangle de côté horizontal

u

et de côté vertical

v

. Le groupe

{Is}_{ponct} (Pav)

est contenu dans le groupe du rectangle

{Id, s_{O}, s_{u}, s_{v}}

p1m
${Is}_{ponct} (Pav) = {Id, s_{u}}$ et il existe dans $Is (Pav)$ une réflexion axiale d'axe une droite $D$ de direction $u$ .
Le groupe ${id, s_{D}}$ est un sous-groupe de $Is (Pav)$ .
Les éléments de $Is (Pav)$ sont de la forme $t_{w} \circ s_{O}^{ε}$ avec $ε = 0$ ou 1.
Le produit de deux éléments se calcule de la manière suivante
$(t_{n u + m v} \circ s_{D} ε) \circ (t_{n' u + m' v} \circ s_{D}^{η}) = t_{(n + n') u + (m - m') v} \circ s_{D}^{η + ε}$

Les éléments de $Is (Pav)$ qui ne sont pas des translations sont tous des réflexions d'axes de direction $u$ distants de multiples entiers de $∥ v ∥ / 2$ .

. . .

.

{proof} On a les relations $s_{D} \circ t_{\overset{⇀}{u}} \circ s_{D} = t_{u}$ $s_{D} \circ t_{v} \circ s_{D} = t_{- v}$ .
{proof}
p1g
${Is}_{ponct} (Pav) = {Id, s_{u}}$ et il n'y a pas de réflexion axiale d'axe porté par $\overset{⇀}{u}$ dans $Is (Pav)$ . Par contre, il y a dans $Is (Pav)$ un élément de la forme $t_{a \overset{⇀}{u}} \circ s_{D}$ pour $D$ une droite parallèle à $\overset{⇀}{u}$ et $a$ non entier. On a alors
$(t_{a \overset{⇀}{u}} \circ s_{D})^{2} = t_{2 a \overset{⇀}{u}} \in T,$
ce qui implique que $2 a$ est un entier. La droite $D$ est un axe de réflexion glissée.
Alors, $t_{(n + 1 / 2) \overset{⇀}{u}} \circ s_{\overset{⇀}{u}}$ appartient à $Is (Pav)$ pour tout entier $n$ . On a donc une infinité d'axes de glissage parallèles et distants d'un multiple entier de $∥ \overset{⇀}{u} ∥$ .
Les éléments de $Is (Pav)$ qui ne sont pas des translations sont des composés d'une symétrie par rapport à des axes de direction $\overset{⇀}{u}$ , c'est-à-dire d'une "symétrie-translation". Ces axes sont distants de multiples entiers de $∥ \overset{⇀}{v} ∥ / 2$ .

. . .

.

Dans les trois cas suivants, le groupe ponctuel est

{id, s_{u}, s_{v}, s_{O}}

. La discussion va porter sur le fait qu'il y a ou non des symétries dans

Is (Pav)

et sur la position du centre

O

par rapport aux axes de symétrie ou de symétrie-translation. En effet, le composé d'une symétrie centrale et d'une translation est encore une symétrie centrale. Les réflexions

s_{u}

s_{v}

se relèvent soient en des réflexions soit en des symétries glissées.

p2mm
${Is}_{ponct} (Pav) = {id, s_{u}, s_{v}, s_{O}}$ et il existe une réflexion $s_{D}$ dans $Is (Pav)$
avec $D$ de direction $u$ et un centre $A$ appartenant à $D$ .
Le composé $s_{D'} = s_{A} \circ s_{D}$ est une réflexion d'axe la perpendiculaire $D'$ à $D$ passant par $A$ .
L'ensemble ${id, s_{A}, s_{D}, s_{D'}}$ est un sous-groupe de $Is (Pav)$ .
Le produit de deux éléments se calcule de la manière suivante $s_{D} \circ t_{u} \circ s_{D} = t_{u}$ $s_{D} \circ t_{v} \circ s_{D} = t_{- v}$ $s_{D'} \circ t_{u} \circ s_{D'} = t_{- u}$ $s_{D'} \circ t_{v} \circ s_{D'} = t_{v}$ .
$Is (Pav)$ contient une infinité de réflexions d'axes de direction $u$ , équidistantes de multiples entiers de $∥ u ∥ / 2$ . Il existe aussi une infinité de réflexions d'axes parallèles à $v$ et elles sont équidistantes de multiples entiers de $∥ v ∥ / 2$ . Les centres de symétrie sont à l'intersection de ces axes de direction $u$ et $v$ .

. . .

.
p2mg
Il existe dans $Is (Pav)$ des réflexions $s_{D}$ par rapport à une droite $D$ de direction $u$ mais aucun centre de symétrie des symétries centrales $s_{A}$ qui sont dant $Is (Pav)$ ne se trouve sur une de ces droites $D$ .
Il n'y a pas de symétries par rapport à des droites $D$ de direction $v$ mais seulement des symétries glissées d'axe de glissage $D$ .
Le composé de $s_{A}$ par $s_{D}$ est une symétrie glissée $t_{2 \vec{AH}} \circ s_{D}$ où $H$ est la projection de $A$ sur $D$ .
La distance d'un axe de symétrie d'une réflexion ou d'un réflexion glissée à un centre de symétrie est un multiple impair de 1/4.

. . .

.
p2gg
Aucune réflexion axiale n'est dans $Is (Pav)$ . Ainsi, $Is (Pav)$ ne contient que des glissages d'axe parallèle à $u$ ou à $v$ . Les axes sont distants de multiples entiers de $∥ u ∥ / 2$ . Les centres de symétrie ne se trouvent pas sur les axes.

. . .

.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-2 Le groupe ponctuel est contenu celui d'un réseau rectangle

II-3-3 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du losange

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-3 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du losange

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III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
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Index

Le losange est construit à partir de deux vecteurs

u

v

de norme 1. Le groupe de symétrie du losange est d'ordre 4 formé de l'identité, de la symétrie centrale par rapport au centre du losange et des symétries par rapport aux deux diagonales :

{Is}_{ponct} (Pav) = {Id, s_{O}, s_{u + v}, s_{u - v}}

. Ce groupe a trois sous-groupes différents de lui-même. Le cas où

{Is}_{ponct} (Pav)

est d'ordre 1 ou est égal à

{Id, s_{O}}

a déjà été traité.

c1m
${Is}_{ponct} (Pav) = {Id, s_{u + v}}$ . Il y a toujours dans $Is (Pav)$ une réflexion axiale de direction $u + v$ . Les autres éléments de $G$ qui ne sont pas des translations sont des réflexions glissées. On trouve qu'il y a toujours des réflexions d'axe $u + v$ . On a aussi toujours des réflexions glissées d'axe $u - v$ .

. . .

.
c2mm
${Is}_{ponct} (Pav) = {Id, s_{O}, s_{u + v}, s_{u - v}}$ . Le groupe $Is (Pav)$ contient toujours au moins une réflexion axiale de direction $u + v$ et une réflexion axiale de direction $u - v$ et des glissages pour ces directions.
Les intersections des axes des symétries ainsi que celles des axes de glissages sont centre de symétrie.

. . .

.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-3 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du losange

II-3-4 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du carré

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-4 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du carré

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- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Il est d'ordre 8. Il est composé de id,

r_{π / 2}

r_{π / 2}^{2} = s_{O}

r_{π / 2}^{3}

s_{u}

s_{v}

s_{u + v}

s_{u - v}

(réflexions par rapport aux médianes, ou diagonales).
Il possède trois sous-groupes distingués. Deux d'entre eux sont isomorphes à

V_{4} = ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

H_{1} = {id, s_{O}, s_{u}, s_{v}}

H_{2} = {id, s_{O}, s_{u + v} s_{u - v}}

.
Le troisième est cyclique d'ordre 4 :

{id, r_{π / 2}, r_{π / 2}^{2} = s_{O}, r_{π / 2}^{3}}

.
Le cas où

{Is}_{ponct} (Pav)

ne contient pas de rotation d'ordre 4 a été étudié dans le cas du rectangle.

p4
${Is}_{ponct} (Pav)$ est le sous-groupe contenant les rotations d'angle $π / 2$ . Le groupe de symétrie $Is (Pav)$ contient alors une rotation d'ordre 4. Les centres de rotation sont des centres de symétrie. Mais il y en a d'autres.

Dans les deux cas suivants,

{Is}_{ponct} (Pav)

est le groupe du carré tout entier.

p4mm
${Is}_{ponct} (Pav) = D_{4}$ et il existe une réflexion axiale dans $Is (Pav)$ dont l'axe passe par un centre de rotation. Le groupe de symétrie $Is (Pav)$ contient alors une rotation d'ordre 4. Il existe d'autre part toujours des réflexions (c'est un cas particulier du losange).
Les centres de symétrie sont alors les intersections des axes de réflexions, les intersections des axes de glissage, les centres de rotations.

. . .

.
p4gm
${Is}_{ponct} (Pav) = D_{4}$ et l'axe d'aucune réflexion axiale ne passe par un centre de rotation, les centres de rotation sont par contre à l'intersection des axes de glissage.

. . .

.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-4 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du carré

II-3-5 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du réseau hexagonal

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-5 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du réseau hexagonal

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Index

Le réseau équilatéral est construit à partir des vecteurs

u

v

avec

v = (1 / 2, \sqrt{3} / 2)

. L'angle entre

u

v

est donc de

π / 3

. C'est un cas particulier du réseau losange. Si

G

est le centre de gravité de l'hexagone, Le groupe de symétrie du réseau équilatéral (ou hexagonal) est formé

des rotations d'angle $π / 3$ , $2 π / 3$ , $pi$ , $4 π / 3$ , $4 π / 3$
des réflexions par rapport aux diagonales (de direction $u + v$ et $u - v$ )
des réflexions par rapport aux médianes (de direction $u$ et $u$ )

{Is}_{ponct} (Pav) = {id, r_{π / 3}, r_{π / 3}^{2} = s_{G}, r_{π / 3}^{3}, r_{π / 3}^{4}, r_{π / 3}^{5}, s_{u}, s_{v}, s_{u + v}, s_{u - v}}

p3
${Is}_{ponct} (Pav)$ est cyclique d'ordre 3. Dans $Is (Pav)$ , il y a une rotation d'angle $2 π / 3$ de centre le centre de gravité du triangle équilatéral. ${Is}_{ponct} (Pav) = {id, r_{2 π / 3}, r_{2 π / 3}^{2}}$

. . .

.
p6
${Is}_{ponct} (Pav)$ est cyclique d'ordre 6. Dans $Is (Pav)$ , il y a la rotation d'angle $π / 3$ de centre O. ${Is}_{ponct} (Pav) = {id, r_{π / 3}, r_{π / 3}^{2}, r_{π / 3}^{3}, r_{π / 3}^{4}, r_{π / 3}^{5}}$ .

. . .

.
p3lm
${Is}_{ponct} (Pav)$ est d'ordre 6 et égal à ${id, r_{2 π / 3}, r_{2 π / 3}^{2}, s_{u}, s_{v}, s_{u - v}}$
$Is (Pav)$ contient des réflexions par rapport à des droites parallèles à $u$ et à $v$ et se coupant en $O$ . Ces deux réflexions engendrent un groupe isomorphe au groupe des permutations d'un ensemble à trois éléments.

. . .

.
p3ml
${Is}_{ponct} (Pav) = {id, r_{2 π / 3}, r_{2 s π / 3}^{2}, s_{u + v}, s_{2 u - v}, s_{2 v - u}}$

. . .

.
p6mm
${Is}_{ponct} (Pav) = {id, r_{π / 3}, r_{π / 3}^{2} = s_{G}, r_{π / 3}^{3}, r_{π / 3}^{4}, r_{π / 3}^{5}, s_{u}, s_{v}, s_{u - v}, s_{u + v}, s_{2 u - v}, s_{2 v - u}}$

. . .

.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages → II-3 Classifions les pavages → II-3-5 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du réseau hexagonal

III D'autres groupes de symétrie

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie

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III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

On connait des dessins ou des objets qui ont une "symétrie" qui n'est pas relié à la géométrie euclidienne du plan. C'est un autre type de groupes qui intervient alors.

Ce qui suit est inachevé ...

III-1 En spirale

III-2 Géométrie hyperbolique

Pavage de Penrose

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie

III-1 En spirale

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-1 En spirale

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- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

Exemple [Spirale]

Plaçons-nous dans le plan complexe où l'on a enlevé l'origine

0

. Soit

h

un nombre complexe non nul. L'application

S_{h} : z \in ℂ^{⋆} \mapsto h z \in ℂ^{⋆}

est une bijection. Soit

G_{h}

le groupe engendré par

h

dans

ℂ^{⋆}

ou par

S_{h}

dans l'ensemble des applications bijectives de

ℂ^{⋆}

dans lui-même.
Par exemple, si

h = 2 i

, c'est le sous-groupe de

ℂ^{⋆}

formé des nombres complexes

{(2 i)^{n}, n \in ℤ} = {2^{4 m}, 2^{4 m + 1} i, - 2^{4 m + 2}, - 2^{4 m + 3} i, m \in ℤ}

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-1 En spirale

III-2 Géométrie hyperbolique

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique

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- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

On considère le disque de Poincaré (disque unité dans

ℂ

) muni de la géométrie hyperbolique: les segments sont les arcs de cercles orthogonaux au bord ou les segments passant par l'origine (Poincaré, 1880).
On part d'une suite

(\frac{2 π}{d_{i}})_{i = 1, n}

où les

d_{i}

sont des entiers

\geq 3

et tel que

\sum_{i} \frac{1}{d_{i}} < \frac{n - 2}{2}

. Il existe alors un polygone

P_{0}

convexe d'angles intérieurs successifs

\frac{2 π}{d_{i}}

et possédant un cercle inscrit, c'est-à-dire tangent à tous les côtés du polygone (polygone tangentiel). Il est unique à transformation de Moebius près.
On suppose de plus que si

d_{i}

est impair, alors on a

d_{i - j} = d_{i + j}

pour tout

j

. Alors, il existe un pavage du disque de Poincaré construit à partir de ce polygone. Pour cela, on construit les polygones symétriques de

P_{0}

par rapport à chacun de ses côtés. On obtient ainsi de nouveaux polygones dont on reprend les symétriques par rapport à leurs côtés et ainsi de suite... Tous ces polygones forment un pavage périodique du plan hyperbolique. Ces pavages sont transitifs sur l'ensemble des sommets et la suite

[d_{1}, \dots, d_{n}]

est la configuration de sommets, c'est-à-dire la suite des types de faces (polygones) (nombre de sommets) ayant un sommet commun.
On peut aussi définir par dualité un pavage transitif sur les faces: la configuration de faces

[d_{1}, \dots, d_{n}]

est alors la suite des types de faces (nombre de sommets) pour chacun des sommets d'une face.
Voici quelques exemples de triangles, quadrilatères ou polygones réguliers.

[5,5,5,5]
Error integersError integers

[8,6,8,6,8,6]
Error integersError integers

[8,6,8,6]
Error integersError integers

III-2-1 Triangle

III-2-2 Quadrilatère

III-2-3 Pentagone

III-2-4 Polygone régulier

III-2-5 Polygone tangentiel

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique

III-2-1 Triangle

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-1 Triangle

I Frises
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III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

[18,12,5]
Error integersError integers

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-1 Triangle

III-2-2 Quadrilatère

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-2 Quadrilatère

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- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

[4,4,6,4]
Error integersError integers

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-2 Quadrilatère

III-2-3 Pentagone

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-3 Pentagone

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III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Géométrie hyperbolique
Index

[10,8,3,8,8]
Error integersError integers

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-3 Pentagone

III-2-4 Polygone régulier

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-4 Polygone régulier

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Index

[5,5,5,5] (

4

côtés et

4

angles égaux)
Error regularError regular

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III-2-5 Polygone tangentiel

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie → III-2 Géométrie hyperbolique → III-2-5 Polygone tangentiel

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Index

[]
Error integersError integers

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document sur les frises et les pavages conduisant à la notion de groupe.
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