OEF Calculs algébriques avec logarithmes ou exponentielles
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 20 exercices
de classe Terminale,
sur les calculs
algébriques avec des logarithmes et des exponentielles.
Contenu actuel;
Pratique de la notation puissance pour les exponentielles de base quelconque.
Réécriture d'expressions numériques ou littérales avec ln ou exp.
Résolution d'inéquations simples avec exponentielles /ou logarithmes
(avec résolution détaillée fournie en fin d'exercice).
Etude de signe d'expression du type c*exp(ax+b) + d ou c*ln(ax+b) + d.
Application des logarithmes aux suites géométriques.
Réécriture avec des exponentielles (1)
On donne
, où exp désigne la fonction exponentielle.
Réécrire
sous la forme exp(
), où
est un entier relatif.
(
).
Réécriture avec des exponentielles (2)
On donne
, où exp désigne la fonction exponentielle.
Réécrire
sous la forme exp(
), où
est une expression sans exponentielle.
(
).
Exponentielles et notation puissance
On considère l'expression
. Réécrire
sous la forme exp(
).
exp désigne la fonction exponentielle de base e.
(
).
Réécrire avec une seule exponentielle
Écrire
sous la forme
, où l'exposant
est développé :
=
Inéquation du type c e^(ax+b) + d >0
On veut étudier en fonction de
le signe de :
. Pour ce faire, on commence par résoudre l'inéquation
.
Résolvez l'inéquation sur papier libre puis complétez les affirmations suivantes.
On peut écrire l'équivalence suivante :
On
appliquer car le deuxième membre de l'inéquation est
.
On peut écrire l'équivalence suivante :
On peut appliquer , car le deuxième membre de l'inéquation est .
En appliquant cette règle, on obtient :
.
On peut écrire l'équivalence suivante :
On ne peut pas appliquer , car le deuxième membre de l'inéquation est .
Sachant que
pour tout réel t, on conclut que l'inéquation
.
En résolvant
on obtient :
.
Posons
. On dresse alors le tableau de signes suivant :
0
En résolvant
on obtient que l'inéquation
n'a aucune solution
admet tous les réels comme solutions
.
On dresse alors le tableau de signes suivant :
Inéquation du type c e^(ax+b) > d
On veut résoudre dans
l'inéquation (I) :
.
Résolvez (I) sur papier libre, en complétant les affirmations suivantes.
On peut écrire l'équivalence suivante :
On
appliquer car le deuxième membre de l'inéquation est
.
On peut écrire l'équivalence suivante :
On peut appliquer , car le deuxième membre de l'inéquation est .
En appliquant cette règle, on obtient :
.
On peut écrire l'équivalence suivante :
On ne peut pas appliquer , car le deuxième membre de l'inéquation est .
Sachant que
pour tout réel t, on conclut que l'inéquation
.
Inéquation avec logarithmes (1)
On veut résoudre dans
l'inéquation (I) :
. Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.
Le premier membre de (I) est défini à condition que
.
Le second membre de (I) est défini à condition que
.
Pour tout réel
vérifiant les conditions 1. et 2. , on a :
L'ensemble des solutions de (I) est
Inéquation avec logarithmes (1 bis)
Cet exercice comporte 3 étapes.
On veut résoudre dans
l'inéquation (I) :
.
1. Le premier membre de (I) est défini à condition que
.
Bonne réponse !
2. Le second membre de (I) est défini à condition que
.
Bonne réponse !
3. Effectivement, l'inéquation (I) est défini pour tout réel
vérifiant les conditions
et
.
On peut alors écrire :
On en déduit que l'ensemble des solutions de (I) est
Inéquation avec logarithmes (2)
On veut résoudre dans
l'inéquation (I) :
.
Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.
Pour écrire
vous devez entrer exp(a) ou e^(a) et de préférence la formule exacte.
Le premier membre de (I) est défini si et seulement si
.
La condition 1. étant vérifiée, on peut écrire les équivalences suivantes :
(I)
(I)
L'ensemble des solutions de (I) est
Inéquation avec logarithmes (3)
On veut résoudre dans
l'inéquation (I) :
. Résoudre (I) sur papier libre, puis écrire son ensemble de solutions à l'aide des menus déroulants ci-dessous.
Pour écrire l'ensemble vide, saisir ] 0 ; 0 [.
L'ensemble des solutions de (I) est l'intervalle :
]
;
[
Inéquation résolue en ln
Résoudre dans
l'inéquation (I) :
.
Il s'agit de répondre aux questions suivantes :
A quelle condition sur
le premier membre de (I) est-il défini ?
A quelle condition sur
le second membre de (I) est-il défini ?
Pour
vérifiant les conditions 1. et 2. , on peut simplifier (I) en une inéquation (I') du premier degré. Poser l'inéquation (I'). Quelles sont les solutions de (I') ?
En déduire l'ensemble des solutions de (I). (il faut tenir compte des conditions obtenues en 1., 2. et 3.)
Voici une résolution détaillée de (I) :
vérifiant ces deux conditions, on peut ramener (I) à une inéquation du premier degré en appliquant la règle
, on obtient :
(I)
.
Les réels
solutions de (I) doivent donc vérifier les trois inégalités :
et
et
.
Chaque inégalité définit un intervalle, l'ensemble des solutions est l'intersection des trois intervalles.
Réécriture avec des logarithmes (1)
.
= ln(
).
=
.
Réécriture avec des logarithmes (2)
.
avec
=
et
=
.
Logarithme et suites géométriques
On considère la suite géométrique (
\) de premier terme
et de raison
.
On cherche pour quelles valeurs de l'entier
on a
. Il s'agit donc de résoudre dans l'inéquation (I) :
Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.
La suite géométrique
est
et
.
L'inéquation (I) équivaut à
ln(
) / ln(q) .
Les solutions de l'inéquation (I) sont tous les entiers naturels
à
.
Etude d'une fonction logarithme (QCM)
On considère la fonction
définie par la formule
. Faites-en l'étude sur papier libre, puis remplissez le questionnaire suivant.
est défini si et seulement si :
Soit
l'ensemble de définition de
. Parmi les ensembles suivants, lequel est
?
= ] ; +∞ [
= ] -∞ ; [
= [ ; +∞ [
= ] -∞ ; ]
=
Pour tout réel
appartenant à
, on peut écrire :
=
et
.
Pour
, comme
est strictement positif,
est du signe de
. Donc, sur l'ensemble
, on obtient que
.
Des variations de la fonction
on déduit que :
.
Signe d'une expression avec exp (1)
.
Signe d'une expression avec exp (2)
On veut étudier en fonction de
le signe de :
.
Pour ce faire, on commence par regarder si ce signe peut être déterminé de manière immédiate.
Sachant que
pour tout réel , on conclut que le signe de
.
Le signe de
ne pouvant pas être trouvé de manière immédiate, on résout l'inéquation :
. On peut écrire les équivalences suivantes :
()
.
.
Sachant que
pour tout réel
, le signe de
.
On dresse alors le tableau de signes suivant :
En résolvant
on obtient :
.
Posons
. On dresse alors le tableau de signes suivant :
0
Signe d'une expression avec ln (1)
L'expression
est définie si
, c'est-à-dire si
appartient à l'intervalle
.
On veut étudier dans
le signe de l'expression :
.
On doit donc résoudre l'inéquation
.
Compléter les étapes suivantes.
Pour écrire
vous devez entrer exp(a) ou e^(a).
Pour
appartenant à
, on peut écrire les équivalences suivantes :
On en déduit le tableau de signes suivant :
0
Signe d'une expression avec ln (2)
L'expression
est définie si
, c'est-à-dire si
appartient à l'intervalle
.
On veut étudier dans
le signe de l'expression :
.
Résoudre sur papier libre l'inéquation
puis compléter le tableau de signes.
Pour écrire
vous devez entrer exp(a) ou e^(a).
0
Simplifications de base
.
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l'inéquation (I) :