Algèbre linéaire : applications linéaires

Objectifs

Guide

Introduction
Définitions
Noyau et image
Matrices
Prolongement par linéarité
Le théorème du rang
- Théorème du rang
- Exemple d'application du théorème du rang
Changement de bases

Définitions

Définition d'une application linéaire
Propriétés
Exemples
Identification

Définition d'une application linéaire

Définition. Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application

f

est une application linéaire si :

pour tous $u$ et $v$ dans $E$ , $f (u + v) = f (u) + f (v)$ ;
pour tous $u$ dans $E$ et $lambda$ dans K, : $f (λ u) = λ f (u)$ .

Cas particuliers. Soit

f

une application linéaire.

Si $F$ est le corps $K$ , on dit que $f$ est une forme linéaire sur $E$ .
Si $E = F$ , on dit que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
Si $f$ est bijective, on dit que $f$ est un isomorphisme de $E$ dans (ou sur) $F$ .
Si $f$ est bijective et $E = F$ , on dit que $f$ est un automorphisme de $E$ .

On note

L (E, F)

l'ensemble de toutes les applications linéaires de

E

dans

F

. Si

E = F

, on note

L (E, F) = L (E)

Propriétés

Proposition Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

et f une application linéaire. Alors :

$f (0) = 0$ et pour tout $u$ $in$ $E$ , $f (- u) = - f (u)$ .
Pour tous $λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{n}$ dans $K$ et $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}$ dans $E$ , on a :
$f (λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{n} u_{n}) = λ_{1} f (u_{1}) + λ_{2} f (u_{2}) + \dots + λ_{n} f (u_{n})$ .
Si $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors $f (G)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Proposition(définition équivalente d'application linéaire) Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

. Une application

f : E \to F

est une application linéaire si et seulement si

pour tous $u$ et $v$ dans $E$ et $lambda$ $in$ $K$ , $f (λ u + v) = λ f (u) + f (v)$ .

Exercice : Image d'un vecteur par une application linéaire

Exemples

Pour tout $K$ -ev $E$ , les applications ${id}_{E}$ et $0_{E}$ de $E$ dans $E$ définies pour $u$ $in$ $E$ par :
${id}_{E} (u) = u$ et $0_{E} (u) = 0$
sont des applications linéaires de $E$ dans $E$ , donc des endomorphismes de $E$ . On appelle ${id}_{E}$ l'application identique ou identité de $E$ , ${id}_{E}$ est un automorphisme de $E$ . On appelle $0_{E}$ l'application nulle de $E$ (malgré la notation, ne pas confondre avec l'élément neutre de $E$ ), $0_{E}$ n'est pas un automorphisme de $E$ .
L'application $f : ℝ^{3} \to ℝ$ , $f ((x, y, z)) = 2 x - 3 y - z$ , est une forme linéaire sur $ℝ^{3}$ .
L'application $f : ℂ^{2} \to ℂ^{2}$ , $f ((z_{1}, z_{2})) = (z_{2}, 0)$ est un endomorphisme de $ℂ^{2}$ .
L'application $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ , $f ((x, y)) = (y, x)$ , est un automorphisme de $ℝ^{2}$ .
Soit $A$ $in$ $M_{p, n} (K)$ . L'application $f : M_{n, 1}$ $rightarrow$ $M_{p, 1}$ , : $X \mapsto AX$ , est une application linéaire.
L'application $f : ℝ \to D$ , où $D = Vect ((1, 5))$ (droite vectorielle de $ℝ^{2}$ engendrée par le vecteur $(1, 5)$ ), définie pour $lambda$ $in$ $RR$ par $f (λ) =$ $lambda$ $(1, 5)$ est un isomorphisme du $RR$ -ev $RR$ de dimension un sur le sev $D$ de dimension un du $RR$ -ev $ℝ^{2}$ .

Identification

Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels. Ainsi, on ne peut pas dire que la droite

D

engendré par le vecteur

(1, 1)

(géométriquement, la première bissectrice du plan

ℝ^{2}

) "est" $RR$ :

D

n'est pas un ensemble de nombres, mais un ensemble de couples. Par contre, "

D

est isomorphe à $RR$ " est le langage qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de $RR$ et de

D

, ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".
C'est bien une identification, pas une égalité : on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur

(4, 4)

et l'isomorphisme de $RR$ dans

D

(c'est-à-dire l'identification de $RR$ avec

D

) aurait alors été l'isomorphisme

$\begin{matrix} ℝ & \to & D \\ λ & \mapsto & (4 λ, 4 λ) \end{matrix}$

et donc un autre isomorphisme.

Noyau et image

Noyau et image
Injectivité, surjectivité
Bases et propriétés d'une application linéaire
Exemple
Exercices

Noyau et image

Proposition et définition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire.

L'ensemble $Ker f$ = ${u \in E, f (u) = 0}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , appelé le noyau de $f$ .
L'ensemble $Im f = f (E) = {f (u), u \in E}$ est un sous-espace vectoriel de $F$ , appelé l'image de $f$ .

Exercice : Image réciproque par une application linéaire

Injectivité, surjectivité

Proposition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire.

$f$ est injective si et seulement si $Ker f$ = ${0}$ .
$f$ est surjective si et seulement si $Im f = F$ .
$f$ est un isomorphisme si et seulement si $Ker f = {0}$ et $Im f = F$ .

Proposition et définition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire. On suppose que

E

est de dimension finie

n \in ℕ^{*}

et que

(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})

est une base de

E

. Alors

(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))

est une suite génératrice de

Im f

. Par conséquent le sous-espace

Im f

est de dimension finie. On appelle rang de

f

, et on note

rang (f)

, la dimension de

Im f

Bases et propriétés d'une application linéaire

Lorsque l'espace vectoriel de départ

E

d'une application linéaire

f

est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de

f

d'après l'action de

f

sur les vecteurs d'une base de

E

, comme le précise la proposition suivante.

Proposition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire. Supposons que

E

est de dimension finie

n

non nulle et que

(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})

est une base de

E

$f$ est injective si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une suite libre de $F$ .
$f$ est surjective si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ engendre $F$ .
$f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une base de $F$ .

Exemple

Exemple : Soient

a

$in$ $RR$ et

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

l'application linéaire définie pour tout

(x, y, z) \in ℝ^{3}

par

f ((x, y, z)) = (2 x + y - z, y - z, a z)

. Soient

b

$in$ $RR$ et

P

le plan vectoriel de

ℝ^{3}

d'équation

x - 2 y + b z = 0

. On veut déterminer, suivant les valeurs de

a

b

, le sous-espace vectoriel

f (P)

ℝ^{3}

. Déterminons une base de

P

. Les vecteurs

u = (2, 1, 0)

v = (- b, 0, 1)

sont deux vecteurs non colinéaires de

P

, donc

(u, v)

est une base de

P

. D'après la proposition,

L'image d'une base par une application linéaire est une suite génératrice de l'image de l'application linéaire.

(f (u), f (v))

est une suite génératrice de

f (P)

. Il y a plusieurs cas :

soit $a$ est non nul
L'application linéaire $f$ transforme une base de $ℝ^{3}$ en une base de $ℝ^{3}$ (car la matrice dont les colonnes sont les vecteurs $f (e_{1})$ , $f (e_{2})$ et $f (e_{3})$ est une matrice triangulaire, dont les coefficients diagonaux sont non nuls), d'après la proposition,
Si $(a_{1}, . . ., a_{n})$ est une base, $f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une base de $F$ .
$f$ est un automorphisme de $ℝ^{3}$ et la restriction de $f$ à $P$ est un isomorphisme de $P$ sur $f (P)$ : alors $(f (u), f (v))$ est une base de $f (P)$ et $f (P)$ est un plan vectoriel de $ℝ^{3}$ , pour tout $b$ $in$ $RR$ .
soit $a$ est nul
L'application linéaire $f$ n'est plus un automorphisme de $ℝ^{3}$ , mais on ne sait pas a priori si la restriction de $f$ à $P$ est un isomorphisme de $P$ sur $f (P)$ . Calculons $f (u) = (5, 1, 0)$ et $f (v) = (- 2 b - 1, - 1, 0)$ ;
- si $b$ n'est pas égal à 2,
  $f (u)$ et $f (v)$ ne sont pas colinéaires, donc $(f (u), f (v))$ est une base de $f (P)$ , qui est le plan dont une équation cartésienne est $z = 0$ : $f$ est dans ce cas un isomorphisme de $P$ sur $f (P)$ , ce qui découle de la Proposition
  Si $(a_{1}, . . ., a_{n})$ est une base, $f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une base de $F$ .
  ou de la formule
  $P \cap Ker f = {0}$ .
- si $b$ est égal à 2,
  $f (u)$ et $f (v)$ sont colinéaires, $f (P)$ est la droite vectorielle de $ℝ^{3}$ dont une base est $(f (u))$ ; dans ce cas $f$ n'est pas un isomorphisme de $P$ sur $f (P)$ , soit d'après la Proposition
  Si $(a_{1}, . . ., a_{n})$ est une base, $f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une base de $F$ .
  soit d'après l'inclusion
  Ker $f = {λ (0, 1, 1), λ \in ℝ} \subset P$ .

Exercices

Exercices : ces deux exercices utilisent la matrice associée à une application linéaire.

Base de l'image
Base du noyau

Exercice : Image et noyau

Exercice : Image et noyau : application linéaire dépendant d'un paramètre

Matrices

Matrice et application linéaire
Exemple générique
Exemple numérique
Notation matricielle et systèmes linéaires
Matrices et composition : le problème
Produit de matrices
Exercices sur le produit de matrices
Matrices et composition : théorème

Matrice et application linéaire

Soient

E

F

deux espaces de dimension finie. La présence de bases dans

E

F

va nous permettre d'associer à toute application linéaire de

E

dans

F

une matrice.

Définition Soient

E

F

deux espaces vectoriels de dimension finie

n

$in$

ℕ^{*}

p

$in$

ℕ^{*}

, respectivement. Soit

f

une application linéaire. Choisissons une base

ℬ = (u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n})

E

et une base

ℬ' = (u'_{1}, u'_{2}, . . ., u'_{p})

F

. On appelle matrice de

f

dans les bases

ℬ

ℬ'

la matrice

A \in M_{p, n} (K)

, notée

M_{ℬ}^{ℬ'} (f)

(ou parfois

M (f, ℬ, ℬ')

), dont la

j

-ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur

f (a_{j})

dans la base

ℬ'

, 1 $leq$

j

$leq$

n

Lorsque

E = F

ℬ = ℬ'

, on note

M_{ℬ}^{ℬ'} (f) = M_{ℬ} (f)

. La matrice

M_{ℬ} (f)

est une matrice carrée d'ordre

n

. Si on a, pour

1 \leq j \leq n

f (u_{j}) = a_{1 j} u'_{1} + a_{2 j} u'_{2} + \dots + a_{p j} u'_{p}

c'est-à-dire, si

a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{p j}

sont les coordonnées du vecteur

f (u_{j})

dans la base

ℬ'

, alors :

M_{ℬ}^{ℬ'} (f) = A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{p 1} & a_{p 2} & \dots & a_{p n} \end{matrix})

Exemple générique

Prenons

n = 4

p = 4

. Si on a

f (u_{1}) = a_{11} u'_{1}

+ a_{21} u'_{2}

+ a_{31} u'_{3}

+ a_{41} u'_{4}

f (u_{2}) = a_{12} u'_{1}

+ a_{22} u'_{2}

+ a_{32} u'_{3}

+ a_{42} u'_{4}

f (u_{3}) = a_{13} u'_{1}

+ a_{23} u'_{2}

+ a_{33} u'_{3}

+ a_{43} u'_{4}

f (u_{4}) = a_{14} u'_{1}

+ a_{24} u'_{2}

+ a_{34} u'_{3}

+ a_{44} u'_{4}

c'est-à-dire, si

a_{1 j}

a_{2 j}

a_{3 j}

a_{4 j}

sont les coordonnées du vecteur

f (u_{j})

dans la base

ℬ'

, alors :

M_{ℬ}^{ℬ'} (f) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix})

Exemple numérique

Prenons

n = 2

p = 3

. Si on a

f (u_{1}) = u'_{1}

u'_{2}

u'_{3}

f (u_{2}) = u'_{1}

u'_{2}

u'_{3}

la matrice de

f

dans les bases

ℬ

ℬ'

est

$[]$ .

C'est une matrice ayant 3 lignes et 2 colonnes.

Exercice : Matrice associée à une application linéaire

Notation matricielle et systèmes linéaires

Pour tous

x = x_{1} u_{1} + . . . + x_{n} u_{n}

$in$

E

y = y_{1} u'_{1} + . . . + y_{p} u'_{p}

$in$

F

, on note

X_{ℬ} = [x_{j}]_{1 \leq j \leq n}

Y_{ℬ'} = [y_{i}]_{1 \leq i \leq p}

les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs

x

dans la base

ℬ

y

dans la base

ℬ'

, respectivement. Si

A = M_{ℬ}^{ℬ'} (f)

, on a alors :

$f (x) = y ⟺ {AX}_{ℬ} = Y_{ℬ'}$

Autrement dit, si

A

est la matrice de l'application linéaire

f

dans les bases

ℬ

E

ℬ'

F

résoudre l'équation $f (x) = y$ (où $y$ $in$ $F$ est donné et $x$ $in$ $E$ est l'inconnue)	équivaut	résoudre le système linéaire ${AX}_{ℬ} = Y_{ℬ'}$
déterminer le noyau Ker $f$	équivaut	résoudre le système linéaire homogène ${AX}_{ℬ} = 0$ ;	on obtient alors une base de Ker $f$ , un système d'équations paramétriques de Ker $f$ et un système d'équations cartésiennes de Ker $f$
déterminer le rang de $f$ , une base et un système d'équations paramétriques de Im $f$	équivaut	déterminer le rang de la matrice $A$	c'est-à-dire le rang de la suite des vecteurs colonnes de $A$
déterminer un système d'équations cartésiennes de Im $f$	équivaut	chercher les conditions de compatibilité du système linéaire ${AX}_{ℬ} = Y_{ℬ'}$

Matrices et composition : le problème

Question : Soient

E

F

G

trois

K

-espaces vectoriels de dimensions finies, munis des bases

ℬ

ℬ'

ℬ ″

, respectivement. Soient

A = M_{ℬ}^{ℬ'} (f)

B = M_{ℬ'}^{ℬ ″} (g)

C = M_{ℬ}^{ℬ ″} (g \circ f)

. Peut-on calculer

C

à partir de

A

B

? Autrement dit, y a-t-il une opération sur des matrices qui correspond à la composition des applications linéaires qu'elles représentent ?

Exemple : Soient

f \in L (ℝ^{2}, ℝ^{3})

g \in L (ℝ^{3}, ℝ^{2})

dont les matrices, par rapport aux bases canoniques

ℬ = (e_{1}, e_{2})

ℝ^{2}

ℬ' = (e'_{1}, e'_{2}, e'_{3})

ℝ^{3}

sont, respectivement :

$B = M_{ℬ}^{ℬ'} (f) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) A = M_{ℬ'}^{ℬ} (g) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix})$

Peut-on calculer la matrice

C = M_{ℬ} (g \circ f)

à partir des matrices

A

B

Produit de matrices

Définition Soient

A = (a_{i k}) \in M_{p, n} (K)

B = (b_{k j}) \in M_{n, q} (K)

. On appelle produit de la matrice

A

par la matrice

B

, et on note

AB

, la matrice

C = (c_{i j}) \in M_{p, q} (K)

définie par :

$c_{ij} = \sum_{1 \leq k \leq n} a_{ik} b_{kj}, 1 \leq i \leq p, 1 \leq j \leq q$

Le produit

A B

n'est défini que si le nombre de colonnes de

A

est égal au nombre de lignes de

B

. Le produit de deux matrices carrées de même ordre est toujours défini.

Exemple :

	$B =$
$A =$	$AB =$

Exercices sur le produit de matrices

Exercice : Trouver deux matrices dont le produit est donné II

Matrices et composition : théorème

Proposition : Soient

E

F

G

trois espaces vectoriels sur le corps

K

, de dimension finie

q, n

p

, munis des bases

ℬ

ℬ'

ℬ ″

respectivement. Si

f

$in$

L (E, F)

g

$in$

L (F, G)

, alors :

$M_{ℬ}^{ℬ ″} (g \circ f) = M_{ℬ'}^{ℬ ″} (g) M_{ℬ}^{ℬ'} (f) .$

La situation peut être visualisée :

$\begin{matrix} E & \overset{f}{\to} & F & \overset{g}{\to} & G \\ ℬ & ℬ' & ℬ ″ \end{matrix}$

Corollaire : Soient

p, n, q, r

des entiers strictement positifs. Si

A

A_{1}

A_{2}

sont dans

M_{p, n} (K)

B

B_{1}

B_{2}

sont dans

M_{n, q} (K)

C \in M_{q, r} (K)

et $lambda$ $in$

K

, on a :

$A (B C) = (A B) C$ .
$lambda$ $(A B) = (λ A) B = A (λ B)$ .
$A (B_{1} + B_{2}) = A B_{1} + A B_{2}$ .
$(A_{1} + A_{2}) B = A_{1} B + A_{2} B$ .

Corollaire : Soit

n \in ℕ^{*}

. L'ensemble

M_{n} (K)

, muni de l'addition et du produit de matrices :

$(A, B) \to A + B$ ) et $(A, B) \to AB$

est un anneau (non commutatif en général), dont l'élément unité est la matrice identité d'ordre

n

, notée

I_{n}

Prolongement par linéarité

Comment "fabriquer" des applications linéaires ? Y a-t-il "peu" ou "beaucoup" d'applications linéaires entre deux

K

-espaces vectoriels ? Nous allons y répondre quand l'espace de départ est de dimension finie.

Théorème : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

. Supposons que

E

est de dimension finie

n \in ℕ^{*}

. Soient

(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})

une base de

E

(b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n})

une suite quelconque de vecteurs de

F

. Alors il existe une et une seule application linéaire

f

telle que :

$f (a_{i}) = b_{i}$ , 1 $leq$ $i$ $leq$ $n$

Corollaire : Soient

E

F

deux

K

-espaces vectoriels. Supposons que

E

est de dimension finie et qu'il existe un isomorphisme de

E

sur

F

. Alors

F

est de dimension finie,

\dim F = \dim E

et il existe un isomorphisme de

F

dans

E

Définition : Deux K-espaces vectoriels

E

F

sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de

E

sur

F

C'est le corollaire qui justifie cette définition, lorsque

E

est de dimension finie ; lorsque ce n'est pas le cas, nous verrons un peu plus tard que l'application réciproque d'un isomorphisme est toujours un isomorphisme.

Corollaire : Soient

E

F

deux espaces vectoriels de dimension finie

n \in ℕ^{*}

p

$in$

ℕ^{*}

, respectivement. Soit

f

une application linéaire. Choisissons une base

ℬ = a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}

) de

E

et une base

ℬ' = (a'_{1}, a'_{2}, . . ., a'_{p})

F

. L'application

T : L (E, F) \to

_{p, n}

(K) qui à toute application linéaire

f

$in$

L (E, F)

fait correspondre la matrice

M_{ℬ}^{ℬ'} (f)

f

dans les bases

ℬ

ℬ'

est une application bijective.

Exemple de prolongement

Exemple : Soient

u = (1, - 1)

v = (a, 2)

deux vecteurs de

ℝ^{2}

. Existe-t-il un et un seul endomorphisme

f

ℝ^{2}

tel que

f (u) = (- 2, 3)

f (v) = (b, - 6)

$in$

ℝ^{2}

? Si oui, calculer

f (x, y)

, pour

(x, y) \in ℝ^{2}

Si $a$ est différent de -2,
$(u, v)$ est une base de $ℝ^{2}$ et le théorème de prolongement assure l'existence et l'unicité de l'endomorphisme $f$ vérifiant les conditions données. Soit $(x, y) \in ℝ^{2}$ , pour calculer $f ((x, y))$ il suffit d'exprimer $(x, y)$ dans la base $(u, v)$ et utiliser la linéarité de $f$ : , d'où :
= .
Si a = -2,
alors v= -2u ; s'il existe un endomorphisme f de vérifiant les conditions données, on a forcément f(v)= -2f(u) ; par conséquent, si , il n'existe pas de tel endomorphisme ; si b =4, il existe une infinité d'endomorphismes f de tels que f(u)=(-2,3) et : soit un vecteur non colinéaire à u, c'est-à-dire, tel que ; (u,w) est une base de et donc, par le théorème de prolongement pour tout , il existe un endomorphisme (unique) de tel que f(u)=(-2,3) et f((a,b))=(c,d).

On conclut qu'il existe un et un seul endomorphisme f de vérifiant les conditions données si et seulement si a $neq$ -2.

Exercice sur le prolongement

Exercice Existence d'une application linéaire

Le théorème du rang

Théorème du rang
Exemple d'application du théorème du rang

Théorème du rang

Un théorème important dont la démonstration utilise la notion de supplémentaire est le théorème du rang.

Théorème : Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension finie et f une application linéaire. Alors Im f est un sous-espace vectoriel de F de dimension finie et on a :

dim E = dim Ker f + rang f

Corollaire fondamental : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension finie n et f une application linéaire. Les conditions suivantes sont équivalentes :

f est un isomorphisme de E sur F.
f est injective.
f est surjective.

Exemple d'application du théorème du rang

Application. Le TNI permet de résoudre certains exercices avec peu de calculs. Par exemple, soit l'application linéaire dont la matrice, par rapports aux bases canoniques de et , est

Déterminons Ker f.
Allons-y.

La matrice A, donc f, a rang 2. D'après le TNI, dim Ker f = 3 - 2 = 1, donc Ker f est une droite vectorielle de . Notons (e₁ , e₂ , e₃) la base canonique de , on "voit" que , d'où est un vecteur non nul de Ker f, qui est de dimension 1, donc u est une base de Ker f et

Changement de bases

Matrice de changement de bases : définition
Matrice de changement de bases : propriétés
Changements de base sur les vecteurs
Changement de bases sur les matrices
Exercices sur le changement de base

Matrice de changement de bases : propriétés

Si i_E est l'application identique, on a e'_j=i_E(e'_j), , donc P est la matrice de l'application i_E dans les bases de E (en tant qu'espace de départ) et de E (en tant qu'espace d'arrivée). Cette interprétation de P est fort importante dans la plupart des raisonnements sur les matrices de changement de base :

Remarque : On a , la matrice identité d'ordre n. La matrice P est la matrice de i_E lorsqu'on considère dans l'espace de départ "la nouvelle base" et dans l'espace d'arrivée "l'ancienne base" . Donc, P est la matrice des "nouveaux vecteurs"de base, par rapport aux "anciens" vecteurs de base.

Proposition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , et deux bases de E. La matrice P $in$ M_n(K) de passage de la base à la base est inversible et est la matrice de passage de la base à la base .

Changements de base sur les vecteurs

Proposition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , et deux bases de E et x $in$ E. Notons X et X' les matrices colonnes des coordonnées du vecteur x dans les bases et , respectivement. Alors :

X = P X' et X' = P^-1 X

Exercice : Changement de bases sur les vecteurs

Changement de bases sur les matrices

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p, respectivement. Soient et deux bases de E, et deux bases de F, P $in$ M_n(K) (resp. Q $in$ M_p(K)) la matrice de passage de passage de la base à la base (resp. de la base à la base ). Soient f $in$ L(E,F), et . Alors :

A' = Q^-1 A P

Corollaire. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et deux bases de E. Soient f $in$ L(E,F), et . Soit P $in$ M_n(K) la matrice de passage de passage de la base à la base . Alors :

A' = P^-1 A P

Exercices sur le changement de base

Exercices :

Changement de bases
Matrice d'une application linéaire dans différentes bases
Changement de base théorique

Matrice de changement de bases : définition

Questions Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases et , respectivement. Comment changent les coordonnées d'un vecteur de E lorsqu'on change de base dans E ? Comment change la matrice de f $in$ L(E,F) lorsqu'on change de base dans E et dans F ? Nous allons voir que les changements de base s'expriment par des produits de matrices.

Définition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , = (u₁, u₂, ... , u_n) et deux bases de E. La matrice

dont la j-ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur u'_j dans la base , , est appelée la matrice de passage de la base à la base . Si on a, pour :

u'_j = p_j u₁ + p_2j u₂ + ... + p_{n j} u_n,

c'est-à-dire, si , p_2j, ..., p_{n j} sont les coordonnées du vecteur u'_j dans la base , alors :

document sur l'algèbre linéaire.
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