Parabole --- Introduction ---

= .

+ = .

+

=

= + +

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

Ce qui équivaut à Finalement :

La forme canonique de est :

---

Forme canonique avec choix de la méthode

On veut déterminer la forme canonique de .

Voir ci-dessous l'aide pour la méthode "" choisie.

• Réaliser la courbe de la fonction définie par sur papier ou l'afficher avec sa calculatrice.
• Repérer le sommet de la parabole.
• Noter son abscisse et son ordonnée .
• Noter l'ordonnée du point d'abscisse
• La différence donne le coefficient que l'on retrouve aussi dans la forme développée.
• Noter la forme canonique en remplaçant , et par les valeurs trouvées.

La forme canonique est :

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

En déduire les valeurs de , et .

Puis la forme canonique de .

• On remarque que :
• Et que est le début du développement d'un carré ; ce qui donne .
• En ajoutant et en retranchant le terme manquant de multiplié par , on peut faire apparaître .
• Il reste un terme égal à qui est aussi .
• Le coefficient du carré est le même dans l'expression développée et dans l'expression factorisée.
• On détermine ainsi la forme canonique .

• La forme canonique est : .
• Pour qu'elle soit égale à , il faut et il suffit que :
• On en déduit que .
• Mais en fait l'abscisse du sommet de la parabole et son ordonnée.
• Ainsi .
• Calculer les valeurs de , et et noter la forme canonique pour répondre à la question.

Choisir ensuite soit une autre aide soit de répondre aux questions.

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Forme canonique avec choix de la méthode et réponses

On veut déterminer la forme canonique de .

Voir ci-dessous l'aide pour la méthode "" choisie.

• Réaliser la courbe de la fonction définie par sur papier ou l'afficher avec sa calculatrice.
• Repérer le sommet de la parabole.
• Noter son abscisse et son ordonnée .
• Noter l'ordonnée du point d'abscisse
• La différence donne le coefficient que l'on retrouve aussi dans la forme développée.
• Noter la forme canonique en remplaçant , et par les valeurs trouvées.

La forme canonique est :

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

En déduire les valeurs de , et .

Puis la forme canonique de .

• On remarque que :
• Et que est le début du développement d'un carré ; ce qui donne .
• En ajoutant et en retranchant le terme manquant de multiplié par , on peut faire apparaître .
• Il reste un terme égal à qui est aussi .
• Le coefficient du carré est le même dans l'expression développée et dans l'expression factorisée.
• On détermine ainsi la forme canonique .

• La forme canonique est : .
• Pour qu'elle soit égale à , il faut et il suffit que :
• On en déduit que .
• Mais en fait l'abscisse du sommet de la parabole et son ordonnée.
• Ainsi .
• Calculer les valeurs de , et et noter la forme canonique pour répondre à la question.

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Fonction carré

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .
Le point d'abscisse 0 qui est le sommet de la parabole est déjà placé.

Clique sur le point d'abscisse 1 Clique sur le point d'abscisse Clique sur le point d'abscisse 2 Clique sur le point d'abscisse Clique sur le point d'abscisse 3 Clique sur le point d'abscisse

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Fonction a x^2 positive

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .

Le point d'abscisse 0 qui est le sommet de la parabole est déjà placé.

Clique sur le point d'abscisse 1: Clique sur le point d'abscisse : Clique sur le point d'abscisse 2: Clique sur le point d'abscisse :

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Choix d'une fonction associée à x^2

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Le cinéma

Étape 1

Étape 2

• Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .

• Détermine les frais de chaque séance en fonction du nombre de spectateurs .
• .
• Substituer l'expression trouvée pour dans pour obtenir une expression qui dépend seulement de .
• = .
• On note cette expression .

Étape 3

• Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
• Et les frais pour une séance sont

La recette est le montant de la vente des billets .

• Exprime la recette en fonction seulement de .
• .

Le bénéfice est .

• Exprime le bénéfice en fonction seulement de .
• .
On note cette expression .

Étape 4

• Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
• Et le bénéfice pour une séance est
• Déterminer pour que soit maximal.
• Réponse : = .
• Puis en déduire la valeur du bénéfice maximal .
• = (arrondir à 0.01 € près).

Étape 5

• Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
• Et le bénéfice pour une séance est
• Il est maximal pour et vaut alors
• Déterminer les deux nombres réels pour lesquels est nul.
• Le plus petit nombre est : = et le plus grand est = .

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L'atterrissage

La fusée s'approche pour atterrir.

Son altitude en mètres à l'instant en secondes est donnée par l'équation :

.

L'atterrissage sera réussi en douceur si l'équation a une solution double.

Quelle est la valeur de pour cela ?

Et dans ce cas, à quel instant aura lieu l'atterrissage ?

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Le vol parabolique du Cormoran

Un cormoran vole selon une parabole d'équation où désigne la position horizontale par rapport à l'observateur et l'altitude en mètres.

Combien de fois le cormoran touchera-t-il la surface de l'eau (altitude 0) ?

À quelles distances de l'observateur touchera-t-il la surface de l'eau ?

.

Les nombres décimaux s'écrivent avec un point.

Si nécessaire, séparez les réponses par une virgule.

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À l'extrême

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .
Quelles sont les coordonnées du sommet de cette parabole ?
Ce sommet correspond-il à un ou un ?
Pour terminer cette question, clique sur le point S sur le graphique.
Tu as trouvé et placé le point et que ce point correspond à un .
Clique maintenant sur le graphique sur le point d'abscisse ..

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Trouver une formule associée à x^2 (1)

Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge. Par lecture graphique déterminer l'expression de .
.

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Trouver une formule associée à rac(x)

Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé les courbes représentatives de
• la fonction racine carrée (en bleu),
• de la fonction opposée de la racine carrée (en vert)
• et d'une fonction (en rouge).
Par lecture graphique déterminer l'expression de .
= .
Pour écrire , taper sqrt(x+a).

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Trouver une formule associée à x^2 (3)

Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge. Par lecture graphique déterminer l'expression de .

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Trouver une formule associée à x^2 (2)

• Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge.
• Par lecture graphique déterminer l'expression de .
.

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Trouver une formule associée à a*rac(x)

Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé les courbes représentatives
• de la fonction racine carrée (en bleu),
• de la fonction opposée de la racine carrée (en vert)
• et d'une fonction (en rouge).
Par lecture graphique déterminer l'expression de .
= .
Pour écrire , taper sqrt(x+k).

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Trouver une formule associée à x^2 animé

Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge.
Par lecture graphique déterminer l'expression de .
Pour obtenir écrire ^2.

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Trouver f avec animation

animate 6,0.5,0 xrange -2,20 yrange -2,20 arrow -2,0,20,0,10, black arrow 0,-2,0,20,10, black text black,-0.5,0,giant, text black,-1,0,medium,x- text black,+-0.5,0,medium,x dsegment ,0,,^2,black dsegment +,0,+,^2,black plot blue,x^2 plot green, arrow ,^2,+,^2,10,black
La fonction carrée est représentée en bleu.
Quelle est la formule de la fonction représentée en vert ?
.

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La fusée au sommet avec plusieurs méthodes

• Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
• Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
• Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
• Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s puis elle va redescendre jusqu'au sol.
• Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.

Le graphique doit être complété par la deuxième phase par translation de la courbe de (voir la méthode géométrie).

1. Jusqu'à quelle hauteur monte la fusée dans la première phase ? m.
2. De combien de mètres la fusée monte-t-elle dans la deuxième phase ? m.
3. On appelle g la fonction représentée dans cette deuxième phase. Quel est le maximum de la fonction g ?
m.
4. Quelle est la formule de ?
   Donne l'expression de en fonction de sans les lettres et .
   Rappel .
   Vérifie que et que .
   .
5. Au bout de combien de secondes après son départ la fusée retombe-t-elle au sol ? s.

Choix : .

• Avec un logiciel de géométrie on peut refaire les courbes puis translater la courbe de pour obtenir celle de .
• Par exemple, avec Geogebra, pour définir et , écrire :
• f=Fonction[x^2,0,]
• r=Fonction[- x^2,-,8]
• Définir un point A à la fin de la courbe de et un point B au début de celle de .
• Puis effectuer une translation de la courbe de de B en A.

Compléter le tableau de valeurs de la fonction .

	-	0
		0

Puis compléter le tableau de valeurs de la fonction qui prolonge la courbe de .

Le premier tableau permet de voir de combien de mètre la fusée va continuer à monter dans la phase 2.
En déduire le maximum de .
Observons le liens entre les fonctions.
• On doit avoir .
• Pour calculer la valeur de , on doit chercher l'image de par et lui ajouter la bonne valeur.
La formule de est l'une des formules suivante :
• Pour déterminer à quel instant la fusée arrive au sol, on peut résoudre l'équation .
• Si le graphique le permet, on peut résoudre graphiquement cette équation.
• Sinon, il faut connaître la formule de (voir le lien entre les fonctions).
• Puis on peut ramener l'équation à .
Choisir une autre méthode ou "répondre" :

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La fusée retardée 1

• Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
• Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
• Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
• Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s jusqu'à m puis elle va redescendre jusqu'au sol.
• Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.
Quelle est la formule de la fonction ainsi représentée en rouge ?

Tu as trouvé . Donne l'expression de en fonction de sans la lettre .

• Vérifie que et que .
• .

Tu as trouvé donc .

A quel instant la fusée retombe-t-elle au sol (altitude 0) ?

Tu as trouvé donc .

Mais en fait la fusée part avec un retard de secondes.

On appelle la fonction correspondant à la première phase et la fonction correspondant à la deuxième phase.

Trouve les expressions de et .

• correspondant à la fonction avec

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La fusée retardée 2

• Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
• Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
• Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
• Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s jusqu'à m puis elle va redescendre jusqu'au sol.
• Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.
Quelle est la formule de la fonction ainsi représentée en rouge ?

Tu as trouvé . Donne l'expression de en fonction de sans la lettre .

• Vérifie que et que .
• .

Tu as trouvé donc .

A quel instant la fusée retombe-t-elle au sol (altitude 0) ?

Tu as trouvé donc .

Mais en fait la fusée part avec un retard de secondes.

On appelle la fonction correspondant à la deuxième phase.
Trouve l'expression de .

Dans ce cas, à quel instant la fusée retombe-t-elle au sol ?

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La fusée au sommet avec réponses intermédiaires

• Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
• Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
• Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
• Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s puis elle va redescendre jusqu'au sol.
• Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.

Le graphique doit être complété par la deuxième phase par translation de la courbe de (voir la méthode géométrie).

1. Jusqu'à quelle hauteur monte la fusée dans la première phase ? m.
2. De combien de mètres la fusée monte-t-elle dans la deuxième phase ? m.
3. On appelle g la fonction représentée dans cette deuxième phase. Quel est le maximum de la fonction g ?
m.
4. Quelle est la formule de ?
   Donne l'expression de en fonction de sans les lettres et .
   Rappel .
   Vérifie que et que .
   .
5. Au bout de combien de secondes après son départ la fusée retombe-t-elle au sol ? s.

Dans la première phase, la fusée monte bien de m.

Mauvaise réponse pour la hauteur maximale dans la première phase .

Dans la deuxième phase la fusée continue bien à monter de m.

Mauvaise réponse pour la différence des altitudes maximales des phase 1 et 2.

La fusée monte bien jusqu'à m.

Mauvaise réponse pour l'altitude maximale de la fusée.

La formule est bien .

Mauvaise réponse pour la formule de

La fusée rejoint bien le sol au bout de s.

Mauvaise réponse pour le retour au sol de la fusée.

Choix : .

• Avec un logiciel de géométrie on peut refaire les courbes puis translater la courbe de pour obtenir celle de .
• Par exemple, avec Geogebra, pour définir et , écrire :
• f=Fonction[x^2,0,]
• r=Fonction[- x^2,-,8]
• Définir un point A à la fin de la courbe de et un point B au début de celle de .
• Puis effectuer une translation de la courbe de de B en A.

L'ordonnée de A est la hauteur maximale dans la phase 1, c'est m.

Compléter le tableau de valeurs de la fonction .

	-	0
		0

Puis compléter le tableau de valeurs de la fonction qui prolonge la courbe de .

Le premier tableau permet de voir de combien de mètre la fusée va continuer à monter dans la phase 2.
En déduire le maximum de .
Observons le liens entre les fonctions.
• On doit avoir .
• Pour calculer la valeur de , on doit chercher l'image de par et lui ajouter la bonne valeur.
La formule de est l'une des formules suivante :
• Pour déterminer à quel instant la fusée arrive au sol, on peut résoudre l'équation .
• Si le graphique le permet, on peut résoudre graphiquement cette équation.
• Sinon, il faut connaître la formule de (voir le lien entre les fonctions).
• Puis on peut ramener l'équation à .
Au bout de combien de secondes la fusée revient-elle au sol ? s.
Choisir une autre méthode ou "répondre" :

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Identités remarquables sur dessin

Identité remarquable N°1
Voici un carré. Quelle est son aire en fonction de et ?
(expression factorisée)
Identité remarquable N°1
Nous avons décomposé le carré rose précédent dont l'aire est .
• Quelle est l'aire de la partie en vert ?
• Quelle est l'aire de la partie en jaune?
• Quelle est l'aire de la partie en bleu ?
Quelle est l'aire totale des parties colorées qui composent le carré rose ?
= (expression développée)
Identité remarquable N°2
Voici deux carrés.
• Quelle est l'aire du carré vert ?
• Quelle est l'aire du carré bleu ?
Identité remarquable N°2

Nous avons décomposé la figure précédente dont l'aire est
Quelle est l'aire de la partie en rouge ?
Quelle est l'aire de la partie en jaune?

Quelle est l'aire totale des parties colorées rouge ou jaune :
= (somme des aires ci-dessus)
Donc = (expression développée)

Identité remarquable N°3
Voici un rectangle.
• Quelle est l'aire du carré vert ?
• Quelle est l'aire du rectangle jaune ?
Identité remarquable N°3
Nous avons décomposé la figure précédente dont l'aire est
• Quelle est l'aire de la partie en rouge ?
• Quelle est l'aire de la partie en jaune?
• Quelle est l'aire de la partie en bleu?
Quelle est l'aire totale des 3 parties de la figure :
• = (somme des aires ci-dessus)
• Donc = (expression développée)

=

= .

Réponse : = .

= .